Question

Determine a área do triângulo com os seguintes vértices A(4,4); B(9,2) e C(2,1)

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja um triângulo de vértices nos pontos de coordenadas: $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$. Sua área é dada pela fórmula:

$\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$

Então, seja o triângulo com vértice nos pontos de coordenadas: $(4,~4),~(9,~2)$ e $(2,~1)$.

Substituindo estas coordenadas na fórmula, teremos:

$\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}4&4&1\\9&2&1\\2&1&1\\\end{Vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\dfrac{1}{2}\cdot\left|\left|\begin{matrix}4 & 4 &1 \\ 9&2 &1 \\ 2& 1 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4 & 4 \\ 9&2 \\ 2& 1 \end{matrix}\right\right|$

Aplique a regra de Sarrus

$\dfrac{1}{2}\cdot|4\cdot2\cdot1+4\cdot1\cdot2+1\cdot9\cdot1-(4\cdot9\cdot1+4\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot2)|$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{1}{2}\cdot|8+8+9-(36+4+4)|\\\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot|-19|$

Calcule o módulo do número, lembrando que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$

$\dfrac{1}{2}\cdot19\\\\\\ \bold{9.5~u.~a}$

Esta é a área deste triângulo.