Question

Determine a área do triângulo ABC, retângulo em A, sabendo que AH é a altura, o segmento AC mede 6 cm e que o ângulo HÂC mede 60°.​

Answer 1

Resposta:

A área do triângulo ABC é igual a 10,39 cm²

Explicação passo-a-passo:

A área do triângulo (A) é igual à metade do produto da altura (AH) pela base (BC):

A = AH × BC / 2 [1]

Então, precisamos obter a medida destes 2 segmentos (AH e BC).

Para obter AH:

O triângulo AHC é retângulo (AHC = 90º). Nele, conhecemos a hipotenusa (AC = 6 cm) e o ângulo HAC (60º). Então, para obter o lado AH, que é cateto adjacente ao ângulo conhecido, e altura do triângulo ABC, vamos usar a função trigonométrica cosseno, pois:

Cosseno = cateto adjacente/hipotenusa

cos 60º = AH/AC

0,5 = AH/6 cm

AH = 0,5 × 6 cm

AH = 3 cm

Para obter HC:

Este lado pode ser obtido pela função trigonométrica seno ou pelo Teorema de Pitágoras. Vamos usar Pitágoras:

AC² = AH² + HC²

HC² = AC² - AH²

HC² = 6² - 3²

HC² = 27

HC = √27

HC = 5,196 cm

Precisamos obter agora a medida do segmento BH. Para isto, vamos analisar o que ocorre no triângulo ABH:

- é retângulo em H

- o ângulo BAH mede 30º (pois ABC é reto e HAC mede 60º)

- AH mede 3 cm e é cateto adjacente ao ângulo BAH

- BH é cateto oposto ao ângulo BAH

Então, vamos usar a função trigonométrica tangente, pois conhecemos dois catetos e um ângulo agudo:

tangente = cateto oposto/cateto adjacente

tg 30º = BH/AH

0,577 = BH/3 cm

BH = 0,577 × 3 cm

BH = 1,731 cm

Como o lado BC é igual a BH + HC:

BC = 1,731 + 5,196

BC =  6,927 cm

Agora, podemos calcular a área do triângulo ABC, substituindo em [1] os valores obtidos:

A = 6,927 cm × 3 cm / 2

A = 10,39 cm²