Question

Determine a área do triângulo ABC, onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(1,-5), N(3, 3) e P(9, -5).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Essa questão tem uma resolução um pouco complexa mas vamos lá :

Primeiramente eu gostaria de recordar como se acha o ponto médio de um segmento na geometria analítica :

Nós devemos primeiramente calcular as suas coordenadas de ''x'' e de ''y'' da seguinte forma :

Xa = Xm + Xn/2

Xa = 1 + 3/2 = 4/2 = 2

Ya = Ym + Yn/2

Ya = -5 + 3/2 = -2/2 = -1

Pronto, já sabemos as coordenadas do ponto A (2,-1) agora é só fazer a mesma coisa com os outros dois pontos (B e C). Veja :

Xb = Xn + Xp/2

Xb = 3 + 9/2 = 12/2 = 6

Yb = Yn + Yp/2

Yb = 3 + (-5)/2 = 3 - 5/2 = -2/2 = -1

Já sabemos as coordenadas do ponto B também : B(6,-1)

Achando o ponto C :

Xc = Xp + Xm/2

Xc = 9 + 1/2 = 10/2 = 5

Yc = Yp + Ym/2

Yc = -5 + (-5)/2 = -10/2 = -5

Ponto C (5,-5)

Com as coordenadas dos 3 pontos em mãos basta acharmos a área do Δ determinada pelos mesmos

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P/ nós calcularmos a área de um triangulo com base em pares ordenados nós temos que nos lembrar da seguinte igualdade :

Área = | Determinante | . 1/2

Vamos começar montando o determinante :

| xa  ya 1 |

| xb  yb 1 |

| xc  yc 1 |

(Basta colocarmos 1 par ordenado (x',y') por linha e no final colocarmos o número 1)

Agora a gente pode escolher o método que quisermos p/ resolver esse determinante (Sarrus ou Borboleta) ou a gente pode fazer por esse macete que vou ensinar :

Basta voce repetir no final o primeiro par ordenado que voce usou e excluir a fileira de números 1 que a gente tinha colocado anteriormente. Como eu vou colocar o ponto A primeiro no final eu vou repetir ele novamente :

| xa  ya |

| xb  yb |

| xc  yc |

| xa  ya |

(Observe que agora essa matriz virou uma matriz ''quadrada'' ou seja, p/ resolve-la basta multiplicar as diagonais (lembrando de inverter o sinal da diagonal secundária) :

| 2     -1 |

|6      -1 |

|5     -5 | = 2.(-1) + 6.(-5) + 5.(-1) + 6.1 + 5.1 + 5.2 = - 2 - 30 - 5 + 6 + 5 + 10

| 2     -1 |

Determinante = -37 + 21 = - 16

Por fim é só voltar na fórmula que eu te passei no começo p/ achar a área do Δ que é :

Área = | Determinante |/2

Área = | -16 |/2 = 16/2 = 8 unidades de área