Question

determine a área do triângulo ABC da figura abaixo, sabendo que duas das retas representam as funções definidas pelas leis y = 1/2x + 2 e y = 3.

Answer 1

Utilizando as regras gerais de equação da reta, descobrimos que a área deste triangulo é de 27/2.

Explicação passo-a-passo:

Vemos na imagem que a reta azul é claramente a reta dada y = 3, pois quando a equação da reta não depende de x, ela é constante e horizontal, então neste caso a reta é azul é y = 3.

Sabemos também que a equação da reta é dada por:

y = Mx + N

Onde M é o coeficiente angular, que determinar o angulo da reta, e N o coeficiente linear, que determina a altura da reta. Sabemos que se M for negativo a reta está decrescendo da esquerda pra direita, e se for positivo esta crescendo, logo, sabemos que a reta verde é a reta y=1/2x+2, pois o valor de M desta reta é positivo, ou seja, esta crescendo e a unica outra reta do gráfico é uma reta decrescente.

Sendo assim sabendo a reta verde, podemos descobrir o valor do ponto A no gráfico, que é evidente que se encontra em y=0, pois está na altura 0:

y = 1/2x + 2

0 = 1/2x + 2

1/2x = -2

x = -4

Se x = -4 e y=0 ,então é o ponto (-4,0).

Agora precisamos descorbri o ponto B utilizando a mesma reta. Também já sabemos a altura deste ponto, que é 3, pois este ponto cruza com a reta y = 3, então a altura é 3, sendo assim substituindo na nossa reta:

y = 1/2x + 2

3 = 1/2x + 2

1/2x = 1

x = 2

Se x = 2 e y = 3, então o ponto é (2,3).

Agora precisamos descobrir a reta vermelha para achar o ponto C, sabemos que a reta vermelha passa por y=5 quando x=0, ou seja, o ponto (0,5) e ela também passa pelo ponto B (2,3) e como todo ponto é composto por (x,y), podemos substituir estes pontos na equação geral da reta e descobrir:

Substituindo (0,5):

y = Mx + N

5 = M.0 + N

N = 5

Substituindo (2,3):

y = Mx + N

y = Mx + 5

3 = M.2 + 5

-2 = 2M

M = -1

Então a equação da reta vermelha fica:

y = -x + 5

E agora queremos saber o ponto C, que é quando esta reta vermelha está na altura y=0:

y = -x + 5

0 = -x + 5

-x = -5

x = 5

Então este é o ponto (5,0).

Assim temos os três pontos do triangulo: A(-4,0), B(2,3) e C(5,0)

E como a área do triangulo é base vezes altura sobre 2, o tamanho da base é a distancia de -4 até 5 em x, ou seja, a base vale 9. E a altura é o ponto mais alto, que no caso a altura de B é 3, então:

A = 3.9/2 = 27/2