Question

Determine a área do trapézio na figura.

Answer 1

Na figura temos um trapézio preenchido em laranja.

O eixo dos cossenos (eixo horizontal) divide o trapézio em duas partes simétricas e semelhantes.

• O eixo dos cossenos divide a base maior em duas partes iguais de comprimento 2. Então, o comprimento da base maior é

B = 2 + 2
B = 4

• O eixo dos cossenos também divide a base menor em duas partes iguais de comprimento sen x. Então o comprimento da base menor é

b = sen x + sen x
b = 2 sen x

• A soma do valor do cosseno de x mais o comprimento da altura do trapézio é igual ao raio da circunferência, que mede 1. Sendo h a altura do trapézio, temos que

cos x + h = 1
h = 1 − cos x

Dessa forma, a área do trapézio em função de x é

A = (1/2) · (B + b) · h
A = (1/2) · (4 + 2 sen x) · (1 − cos x)
A = (1/2) · 2(2 + sen x) · (1 − cos x)
A = (2 + sen x) · (1 − cos x) (i)

=====

Encontrando os valores de sen x e cos x:

Por outro lado, temos que

tg x = 2/1
tg x = 2
sen x/cos x = 2
sen x = 2 cos x

Elevando os dois lados ao quadrado,

sen² x = 4 cos² x

Mas sen² x = 1 − cos² x. Então ficamos com

1 − cos² x = 4 cos² x
4 cos² x + cos² x = 1
5 cos² x = 1
cos² x = 1/5

Como x é do primeiro quadrante, então cos x > 0:

cos x = 1/√5

sen x = 2 cos x
sen x = 2 · 1/√5
sen x = 2/√5

Substituindo em (i) os valores encontrados, obtemos o valor da área do trapézio:

A = (2 + 2/√5) · (1 − 1/√5)

Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador,

A = [(2√5 + 2)/√5] · [(√5 − 1)/√5]
A = (1/√5²) · (2√5 + 2) · (√5 − 1)
A = (1/5) · (2√5 · √5 − 2√5 + 2√5 − 2)
A = (1/5) · (2 · 5 − 2)
A = (1/5) · (10 − 2)
A = 8/5
A = 1,6 u.a. <——— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)