Question

Determine a área de uma região limitada pelo gráfico de f(x)= x³, pelo eixo x e pelas retas x= -1 e x=1

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A área de uma região $R$ delimitada entre duas curvas $f(x)$e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo determinado pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$, onde $f(x)\geq g(x)$, pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Desta fórmula, vem que para a função $g(x)=0$, a área desta região é igual a área sob o gráfico da curva de $f(x)$ no intervalo fechado $[a,~b]$.

Assim, substituindo os dados da questão na integral, teremos:

$\displaystyle{\int_{-1}^1 x^3\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da potência:

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}~\biggr|_{-1}^1$

Some os valores no expoente e denominador

$\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_{-1}^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{(-1)^4}{4}$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\\\\\\ 0~\bold{u.~a}$

A interpretação deste resultado é: neste intervalo, a função $f(x)$ intercepta o eixo em pelo menos um ponto, o que faz com que as áreas acima e abaixo do gráfico tenham sinais opostos e sua soma final não seja igual a soma de seus valores absolutos.

Porém, se devemos determinar a área total da região compreendida entre estas curvas, devemos calcular a seguinte integral: $\displaystyle{\int_{-1}^1|x^3|\,dx}$.

Podemos separar esta integral em casos: a função $f(x)=x^3$ intercepta o eixo das abscissas em $x=0$ e a região está abaixo deste eixo no intervalo $[-1,~0)$ (alteramos o sinal do integrando). Por outro lado, a região está acima do eixo no intervalo $(0,~1]$ e não é necessário alterar seu sinal.

A integral se torna:

$\displaystyle{\int_{-1}^0-x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx}$

Calculamos as integrais utilizando as regras apresentadas anteriormente

$-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_{-1}^0+\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{0^4}{4}-\left(-\dfrac{(-1)^4}{4}\right)+\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}$

Calcule as potências e some os valores

$0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}-0\\\\\\ \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\\\\\ \dfrac{1}{2}~\bold{u.~a}$