Determine a área de um fuso de 45° em uma esfera de 10 cm de raio.
Soluções para a tarefa
Resposta:
50π cm² (ou 157 cm²)
Explicação passo-a-passo:
O fuso esférico é a superfície obtida de uma rotação incompleta de uma semi-circunferência em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.
A área deste fuso é proporcional ao ângulo da rotação que o gerou. Neste caso, 45º.
Então, podemos calcular a área da superfície esférica completa, que corresponde a 360º e, após, calcular a área correspondente a 45º (1/8 de 360º).
Área da superfície esférica (S) é dada por:
S = 4π × r²
S = 4π× 10²
S = 400π (área de toda a superfície esférica)
Então, a área do fuso de 45º será igual a:
400π ÷ 8 = 50π cm²
ou
50 × 3,14 = 157 cm²
A área do fuso de 45° em uma esfera de 10 cm de raio é de 50π cm².
Regra de três
A regra de três é utilizada para resolver problemas em que existem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, relacionando-as para criar uma equação e encontrar o valor faltante.
A área do fuso é parte da área da superfície da esfera dada pela expressão:
As = 4πr²
Se uma esfera completa tem um fuso de 360° com a área cima, então, a área do fuso de 45° será diretamente proporcional a As pela regra de três:
360° ⇔ 4πr²
45° ⇔ x
360°·x = 4πr² · 45°
x = 4πr² · 45°/360°
x = 4πr² · 1/8
x = πr²/2
Substituindo o valor do raio, a área do fuso é:
x = π·10²/2
x = 50π cm²
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