Question

Determine a área das regiões limitadas pelas curvas:

A) y = x^2 - 2 e y=2
B) y = √x e y=x

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo da área de regiões limitadas por curvas e integração.

Seja $R$ uma região delimitada pelas curvas dos gráficos das funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Então, devemos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas:

a) $y=x^2-2$ e $y=2$.

Primeiro, encontramos o intervalo de integração igualando as funções:

$x^2-2=2\\\\\\ x^2=4\\\\\\ x=\pm\sqrt{4}\\\\\\ x=\pm~2$

Assim, o intervalo de integração desta região é $[-2,~2]$.

Observe que, neste intervalo, $2>x^2-2$. Logo, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-2}^2 2-(x^2-2)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-2}^22-x^2+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-2}^24-x^2\,dx$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-2}^24\,dx+\int_{-2}^2-x^2\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{4\cdot\int_{-2}^21\,dx-\int_{-2}^2x^2\,dx$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$4\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-2}^2$

Some os valores no expoente e denominador e multiplique os valores

$4\cdot\dfrac{x^{1}}{1}-\dfrac{x^{3}}{3}~\biggr|_{-2}^2\\\\\\ 4x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-2}^2$

Aplique os limites de integração

$4\cdot2-\dfrac{2^3}{3}-\left(4\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$8-\dfrac{8}{3}-\left(-8-\dfrac{-8}{3}\right)\\\\\\ 8-\dfrac{8}{3}-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)\\\\\\ 8-\dfrac{8}{3}+8-\dfrac{8}{3}\\\\\\ \dfrac{32}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas.

b) $y=\sqrt{x}$ e $y=x$

Devemos encontrar o intervalo de integração. Igualamos as funções:

$\sqrt{x}=x\\\\\\ x=x^2\\\\\\ x-x^2=0\\\\\\ x\cdot(1-x)=0\\\\\\ x=0~~\bold{ou}~~1-x=0\\\\\\ x=0~~\bold{ou}~~x=1$

Assim, o intervalo de integração desta região é $[0,~1]$.

Observe que, neste intervalo, $\sqrt{x}>x$. Logo, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}-x\,dx}$

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}\,dx+\int_0^1-x\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}\,dx-\int_0^1x\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}-\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores no expoente e denominador e calcule a fração de frações

$\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^1\\\\\\ \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^2}{2}-\left(\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^2}{2}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{2\cdot1}{3}-\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{2\cdot0}{3}-\dfrac{0}{2}\right)\\\\\\ \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-\left(0-0\right)\\\\\\ \dfrac{2\cdot2-3\cdot1}{3\cdot2}\\\\\\ \dfrac{4-3}{6}\\\\\\ \dfrac{1}{6}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas.

Answer 2

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$\tt a)\\\displaystyle\sf A=2\cdot\int_{0}^2(2-[x^2-2])~dx\\\displaystyle\sf A=2\cdot\int_0^2(2-x^2+2)~dx\\\displaystyle\sf A=2\cdot\int_0^2(4-x^2)~dx\\\sf A=\bigg[8x-\dfrac{2}{3}x^3\bigg]_0^2\\\sf A=8\cdot2-\dfrac{2}{3}\cdot2^3\\\sf A=16-\dfrac{16}{3}\\\sf A=\dfrac{48-16}{3}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf A=\dfrac{32}{3}~u\cdot a}}}}$

$\tt b)\\\displaystyle\sf A=\int_0^1(\sqrt{x}-x)~dx=\bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}x^2\bigg]_0^1\\\sf A=\dfrac{2}{3}\cdot1^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot1^2\\\sf A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\\\sf A=\dfrac{4-3}{6}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf A=\dfrac{1}{6}~u\cdot a}}}}\blue{\checkmark}$