Question

determine a área da superficie de uma pirâmide hexagonal regular que tem 4 raiz de 3 cm³ de volume e na qual a medida da altura é igual à medida da aresta da base.

Answer 1

Do enunciado temos que V = 4√3 cm³

Sabemos que o volume da pirâmide é  V = Ab.h / 3  , em que Ab = área da base e h = altura

Vamos calcular a área do hexágono regular, que é a base dessa pirâmide.

O hexágono regular é formado por por 6 triângulos equiláteros congruentes. A área de cada triângulo é  (base. altura do triângulo)/2
A altura do triângulo equilátero é   (lado.√3)/2.

Então, chamando de a o lado do triângulo, a altura desse triângulo equilátero é   a√3/2

Logo, a área desse triângulo é     (a.a√3/2) / 2 = (a²√3/2).1/2 = a²√3/4

Então, a área do hexágono é    6 . a²√3/4 = 3a²√3/2

Como chamamos de a o lado do triângulo, que é também a aresta da base, e como nos diz o enunciado que a altura da pirâmide é igual a aresta da base, então h da pirâmide = a

Logo,  V = (3a²√3/2 . a) / 3 = (3a³√3/2).1/3 = a³√3/2

Mas sabemos que V = 4√3 cm³. Então   a³√3/2 = 4√3 ⇒ a³√3 = 2.4√3

a³√3 = 8√3 ⇒ a³ = 8 ⇒ a³ = 2³ ⇒ a = 2 cm

Então, substituindo a por 2, temos que Ab = 3.2²√3/2 = 3.2√3 = 6√3 cm²

Agora temos que calcular o apótema da pirâmide, para podermos calcular a área de cada triângulo da face lateral.

Sabemos que: (apótema da pirâmide)² = h² + (apótema da base)²

Já sabemos que h = 2 cm

Como o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, temos que esse apótema mede  2√3/2 = √3 cm. Logo,

(apótema da pirâmide)² = 2² + √3²
(apótema da pirâmide)² = 4 + 3 
(apótema da pirâmide)² = 7 ⇒ apótema da pirâmide = √7 cm  (só o valor positivo, pois essa medida não pode ser negativa)

Então, a área de cada triângulo (face lateral) é 2.√7/2 = √7 cm²

Como, na superfície lateral, temos 6 triângulos iguais a esse, então, a área lateral dessa pirâmide é  Al = 6√7 cm²

Sabemos que a área da pirâmide é  At= Ab + Al, portanto,

At = 6√3 + 6√7 = 6(√3 + √7) cm²

Answer 2

A área da superfície desta pirâmide hexagonal é de 14 cm², aproximadamente.

A pirâmide hexagonal tem volume de 4√3 cm³ com altura igual a aresta da base. A área da superfície será a soma da área da base com a área dos 6 triângulos na lateral.

Sendo x a altura (e a aresta da base), o volume da pirâmide é:

V = x.3x²√3/2

4√3 = 3x³√3/2

8 = 3x³

x = ∛(8/3)

x = 2∛9/3

A medida do lado do triângulo da lateral é dado por Pitágoras:

a² = x² + x²

a = x√2

A área é calculada por:

At = 3x²√3/2 + 6(x√2)

At = 3(2∛9/3)²√3/2 + 6(2∛9/3)√2

At = 2∛9√3/3 + 4∛9√2

At = ∛9(2√3/3 + 4√2)

At ≈ 14,17 cm²

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