Question

Determine a área da região sombreada na figura.

Answer 1

A área de um setor circular é dada por:

$\pi \: {r}^{2} \times \frac{ \alpha }{360}$

Onde:

$r = raio \: \: \: \: \: e \ \: \: \: \: \alpha = angulo$

Então ficamos com:

$\pi \: {3}^{2} \times \frac{60}{360}$

$9\pi \times \frac{1}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

Mas nós queremos é a área da região sombreada, para isso subtraímos a área daquele triângulo da área do setor circular todo (que já sabemos).

Os dois lados adjascentes ao ângulo de 60° são raios do nosso círculo teórico, então têm a mesma medida.

Se sabemos dois lados de um triângulo, e o ângulo formado entre eles, podemos calcular sua área com a seguinte fórmula:

$\frac{a \times b \times \sin( \alpha ) }{2}$

Onde a e b são os lados q sabemos, e "alfa" é o ângulo formado entre eles.

Seno de 60° é:

$\frac{ \sqrt{3} }{2}$

Então ficamos com:

$\frac{3 \times 3 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} = \frac{9 \sqrt{3} }{4}$

Agora efetuamos a subtração:

$\frac{3\pi}{2} - \frac{9 \sqrt{3} }{4} = \frac{3(2\pi - 3 \sqrt{3}) }{4}$