Question

Determine a área da região riscada, abaixo:

Answer 1

Para descobrir a área no gráfico, devemos enxergar o seguinte:

#A função de cima "menos a função de baixo.#

Perceba que a função que está em cima é a função $y=x- x^{2}$ e quem está em baixo é a função $y= x^{2}$

Diante disso, usaremos esta fórmula:

$\int\limits^b_a {f(x) -g(x)} \, dx$

Mas antes devemos encontrar os pontos (a) e (b) que interceptam em "X", ou seja, onde as curvas se encontram no início (a) e no fim (b). E para encontrar estes pontos, vamos igualar as funções. Veja:

$x^{2} =x- x^{2} \to x^{2} + x^{2} -x \to 2 x^{2} -x \to 2 x^{2} -x=0 \to x(2x-1)=0$

Então:

$x=0 \\ 2x-1=0 \to 2x=1 \to x= \frac{1}{2}$

Assim, teremos a=0 e b=$\frac{1}{2}$

Calculemos agora a área em destaque, pois já sabemos onde ela começa, em 0, e onde termina, em $\frac{1}{2}$

$\int\limits^ \frac{1}{2} _0 {(x- x^{2} - x^{2}) } \, dx \\ \int\limits^ \frac{1}{2} _0 {x- 2x^{2}} \, dx \\ \int\limits^ \frac{1}{2} _0{x \, dx \, -2 \int\limits^ \frac{1}{2} _0{ x^{2} \, dx \,$

$\int\limits^ \frac{1}{2} _0{ \frac{ x^{1+1} }{1+1} \, \, -2 \int\limits^ \frac{1}{2} _0{ \frac{ x^{2+1} }{2+1} } \,$

$\int\limits^ \frac{1}{2} _0{ \frac{ x^{2} }{2} \, \, - 2\int\limits^ \frac{1}{2} _0{ \frac{ x^{3} }{3} } \,$

$\frac{1}{2} \int\limits^ \frac{1}{2} _0{x^{2} \, \, - \frac{2}{3} \int\limits^ \frac{1}{2} _0{x^{3}} \,$

$\frac{1}{2}*( ( \frac{1}{2} )^{2} -0)- \frac{2}{3}*(( \frac{1}{2} )^{3} -0) \\ \\ \frac{1}{2}*( \frac{1}{4} -0)- \frac{2}{3}*( \frac{1}{8}-0) \\ \\ \frac{1}{2} * \frac{1}{4} - \frac{2}{3} * \frac{1}{8} \\ \\ \frac{1}{8}- \frac{2}{24} \\ \\ \frac{3-2}{24} \\ \\ \frac{1}{24} u.a$