Question

Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y=x e x=2 , a curva y=1/x^2 e o eixo x.

Answer 1

Observe o anexo, feito no Geogebra®.

Nessa ferramenta, eu coloquei as funções da questão e ampliei no local desejado. Marquei os pontos de intersecção (vértices) da área e mais um ponto auxiliar.

A área em questão é $\mathsf{ABCD}$, mas usaremos aqui mais um ponto auxiliar, $\mathsf{E \ \in \ x \ = \ 1}$. Essa reta também contém a intersecção das nossas duas funções, o vértice $\mathsf{B}$:

$\mathsf{B \ = \ (x_B, \ y_B) \ \in \ f, g \ | \ f: y \ = \ x, \ g: \ y \ = \ \dfrac{1}{x^2}}$

$\mathsf{x_B \ = \ \dfrac{1}{x_B^2} \ \therefore \ x_B \ = \ y_B \ = \ 1 \ (B \ \in \ \mathbb{R}^2)}$

A reta $\mathsf{x \ = \ 1}$ nos auxiliará a dividir a área em duas, um triângulo e uma obtida através da integral definida de $\mathsf{g(x)}$.

Área do triângulo:

$\mathsf{A_t \ = \ \dfrac{\overline{AE}\cdot \overline{BE}}{2}}$

$\mathsf{A_t \ = \ \dfrac{1}{2} \ u^2}$

Área da integral definida de $\mathsf{g(x)}$ entre $\mathsf{x_1 \ = \ 1}$ e $\mathsf{x_2 \ = \ 2}$:

$\mathsf{A_i \ = \ \int\limits^2_1 {g(x)} \, dx }$

$\mathsf{A_i \ = \ \int\limits^2_1 {\dfrac{1}{x^2}} \, dx }$

$\mathsf{A_i \ = \ \int\limits^2_1 {x^{-2}} \, dx }$

$\mathsf{A_i \ = \ -x^{-1} \bigg|^2_1 \ = \ \dfrac{-1}{2} \ - (-) \ \dfrac{1}{1} }$

$\mathsf{A_i \ = \ \dfrac{1}{2} \ u^2}$

Por fim, temos:

$\mathsf{ABCD \ = \ A_t \ + \ A_i}$

$\mathsf{ABCD \ = \ \dfrac{1}{2} \ + \ \dfrac{1}{2}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{ABCD \ = \ 1 \ u^2}}}$