Question

Determine a área da região limitada pelo trapézio

Answer 1

A área de um trapézio (A) é igual ao produto da sua base média (bm) pela altura (h):

A = bm × h

1. Para obtermos o valor da base média, devemos somar as duas bases e dividir o resultado por 2.

2. Para obtermos o valor da altura, nos três casos a situação é a mesma. A altura (representada pela linha tracejada que é perpendicular às duas bases) é um cateto de um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa é um dos lados do trapézio e o outro cateto é a projeção desta hipotenusa sobre a base maior. Assim, em cada um dos casos, vamos obter o valor da projeção do lado do trapézio sobre a base maior e, em seguida, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para obtermos a altura (h):

a) Este é um trapézio escaleno (os lados são diferentes e os ângulos também são diferentes). 
Vamos obter inicialmente o valor da altura (h). O triângulo retângulo da esquerda já tem indicados os valores da hipotenusa (4 m) e da projeção dela sobre a base maior, que é um dos catetos (1,5 m). A altura (h), como já foi dito acima, é o outro cateto. Então, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

4² = 1,5² + h²
h² = 4,5² - 1,5²
h² = 20,25 + 2,25
h = √22,5

h = 4,74... m, altura do trapézio

O valor da base média, como também já foi dito, é igual à soma das 2 bases dividido por 2. No entanto, precisamos obter a medida da base maior, que não foi fornecida.
Para isto, pela extremidade direita da base menor (a base de cima) vamos traçar uma perpendicular à base maior, e assim a base maior fica dividida em três partes:
- a da esquerda tem a medida indicada: 1,5 m
- a do meio, tem 2 cm, pois quando traçamos a perpendicular criamos um segmento igual à base menor
-a do lado direito (x) temos que calcular, aplicando o Teorema de Pitágoras, pois esta parte é um cateto do triângulo retângulo que tem por hipotenusa o lado da direita do trapézio (6,5 m) e por outro cateto a altura do trapézio, que encontramos acima (h = 4,74... m):

6,5² = 4,74² + x²
x² = 6,5² + 4,74...²
x² = 42,25 + 22,5
x = √64,75

x = 8,04... m

Então, a base maior mede:

1,5 + 2 + 8,04 = 11,54

Assim, a base média é igual a:

bm = (2 + 11,54) ÷ 2 = 13,54 ÷ 2 = 6,77 m

E a área do trapézio (A = bm × h) será igual a:

A = 6,77 m × 4,74 m

A = 32,0898 m², área do trapézio indicado na alternativa a)

b) Este é um trapézio retângulo. Neste caso, conhecemos as duas bases (10 m e 16 m) e, então, só precisamos obter a altura (h). 
Vamos obter a medida de h considerando o triângulo retângulo da esquerda do trapézio, no qual:
- a hipotenusa mede 12 m
- o cateto de baixo, que é a projeção da hipotenusa sobre a base maior do trapézio é igual à diferença das duas bases: 16 m - 10 m = 6 m
- o outro cateto é a altura (h), que vamos obter aplicando o Teorema de Pitágoras:

12² = 6² + h²
h² = 144 - 36
h = √108

h = 10,39, altura do trapézio

A base média mede:

bm = (16 + 10) ÷ 2 = 13 m

E a área, então, é igual a:

A = 13 m × 10,39 m

A = 135,07 m², área do trapézio indicado na alternativa b)

c) Este é um trapézio isósceles (tem os lados iguais e os ângulos das bases também iguais). A sua altura será obtida como nos casos anteriores, aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
- hipotenusa = 35 cm
- cateto inferior: como os lados são iguais e os ângulos são também iguais, ao projetarmos a base menor (14 cm) sobre a base maior (56 cm), esta fica dividida em 3 partes, sendo a da direita e a da esquerda iguais entre si e a parte do meio igual à base menor (14 cm). Então a parte da esquerda, que é o cateto procurado, mede:

(56 - 14) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 cm

- o cateto que é a altura (h), então, medirá:

35² = 21² + h²
h² = 1.225 - 441
h = √784

h = 28 cm, altura do trapézio

A base média é igual a:

bm = (14 + 56) ÷ 2

bm = 35 cm

Assim, a área do trapézio será igual a:

A = 35 cm × 28 cm

A = 980 cm², área do trapézio da figura c)