Question

determine a área da região limitada pelas curvas y=-1 -x² e y= -2x-4

Answer 1

Boa noite!

Segue em anexo a intersecção das curvas e em cinza a área que queremos calcular.

Primeiro, calculando os pontos de intersecção dessas curvas fazendo y = y, temos:

$y = y\\\\-1 -x^2 = -2x -4\\\\-x^2 +2x +3 = 0\\\\Por~Bhaskara~ou~Soma~e~Produto:\\x_1 = -1\\x_2 = 3$

Logo,  esses são os nossos limites de integração e a área entre as curvas será a seguinte Integral Definida:

$A = \displaystyle\int\limits^3_{-1} {[-1-x^2-(-2x-4)]} \, dx \\\\\\A = \displaystyle\int\limits^3_{-1} {[-x^2+2x+3]} \, dx \\\\\\A = \left[\dfrac{-x^3}{3}+x^2+3x\right]\bigg|^3_{-1}\\\\\\A = \left[\dfrac{-27}{3}+9+9\right]-\left[\dfrac{1}{3}+1-3\right]\\\\\\A = 9 +\dfrac{5}{3}\\\\\\A = \dfrac{32}{3} \approx 10,66..$

Espero ter ajudado, bons estudos!

Answer 2

A área da região é 10,66.

Cálculo II - Integral

 O cálculo da Integral é usado para dimensionar áreas sob uma curva, áreas que não são padronizadas, ou seja, aquelas que não possibilidade fórmulas.

Dada as duas funções, faremos a figura ( Veja nas imagens anexadas).

• y=-1 -x² - Parábola com concavidade para baixo

• y= -2x-4 - Reta

• Calculando os pontos de intersecção dessas curvas fazendo y = y, temos que:

y = y

-1 - x² = -2x - 4

-x² + 2x + 4 -1 = 0

-x² + 2x + 3 = 0

Usando o Teorema de Bháskara encontraremos os valores das raízes, estes valores serão os intervalos da Integral.

Δ =b² - 4.a.c

Δ  = 2² - 4.-1.3

Δ  = 4 + 12

Δ  = 16

x = (-b ±√Δ)/2.a

x'= -2 + 4/-2

x' = -1

x''= -2 - 4/-2

x' = 3

Achados os limites de integração, iremos calcular a área entre as curvas.  Será da peça seguinte Integral Definida:

A = $\int\limits^3_1 {-x^{2} + 2x + 3} \, dx$

Os intervalos são [ 3, -1], apenas não foi possível colocar o sinal de menos

A = $\frac{x^{3} }{3}+x^{2} +3x$ | Usando o intervalos, temos que:

A = 9 + $\frac{5}{3}$

A = $\frac{32}{3}$

A ≅ 10,66

Para mais informações, acesse:

Integral: https://brainly.com.br/tarefa/51033932