Question

Determine a área da região limitada pela
curva y = x2-1 e o eixo x y = 0).
I) 2/3
III) 13
II) 43
IV) 1​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y = x {}^{2} - 1 \longleftrightarrow y = 0$

Primeiramente, devemos encontrar os limites de integração, como trata-se apenas de uma equação os limites serão dados pelos resultados da mesma, ou seja, vamos igualar e encontrar as raízes:

$\sf y = x {}^{2} - 1\longleftrightarrow x {}^{2} - 1 = 0\longleftrightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 1 \\ \sf x_2 = - 1 \end{cases}$

Portanto os limites são -1 e 1. Agora vamos montar a equação que será responsável por nos fornecer a área daquela região. Devemos lembrar que a área é dada pela função que está acima subtraída pela função que está abaixo, então:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{1}0 -( x {}^{2} - 1) \: . \: dx \longleftrightarrow\int \limits_{ - 1}^{1}( - x {}^{2} + 1) dx\:$

Agora devemos integrar aquela função, para isso basta aplicar os processos normais e no final colocar os limites.

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + c}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf Aplicando: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int ( - x {}^{2} + 1)dx\longleftrightarrow \int - x {}^{2} dx + \int 1dx \\ \\ \sf - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{ x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \longleftrightarrow \boxed{ \boxed{\sf - \frac{x {}^{3} }{3} + x \: \: \bigg |_{ - 1}^{1}}}\: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar a questão, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \int \limits_{a}^{b}f(x) dx = F(b)-F(a) \to \bigg | _{a}^{b}$

Aplicando o tal teorema:

$\sf - \frac{1 {}^{3} }{3} + 1 - \left( - \frac{( - 1) {}^{3} }{3} + ( - 1) \right) \\ \\ \sf - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2 - \frac{2}{3} \longleftrightarrow \frac{6 - 2}{3} = \boxed{\boxed{ \sf\frac{4}{3} u.a}}$

Espero ter ajudado