Question

determine a área da região hachurada​

Answer 1

A área da região hachurada é $72(\pi - 2) \mbox{ } cm^2$.

Primeiramente repare que todas as pétalas azuis dessa flor possuem a mesma área. Sendo assim, precisamos calcular apenas a área de uma dessas pétalas e depois multiplicar o valor que encontrarmos por quatro. Essa será a área da região hachurada.

Perceba que podemos dividir esse quadrado grande em 4 quadrados menores. Vamos focar nosso trabalho em apenas um dos 4 quadrados. Repare que cada lado desse quadrado mede 6 cm (figura 1). Trace a diagonal desse quadrado que passa internamente à pétala (figura 2). Perceba que a área da pétala azul é o dobro da área da parte amarela pintada na figura 3. Portanto, devemos obter a área da parte amarela e multiplicar por 2, para obter a área de uma pétala azul completa e depois multiplicar por 4 para obter a área desejada.

Agora note que a área amarela é a área do setor circular laranja da figura 4, subtraído da área do triângulo roxo na figura 5. Se não conseguir perceber de primeira, compare atentamente as imagens para seguir com a resolução.

O setor circular laranja é 1/4 da área do círculo todo, já que o ângulo central é de 90 graus (é o mesmo ângulo do quadrado), 1/4 de 360 graus (uma volta completa). Comparando com algo mais palpável, é como se alguém tivesse dividido uma pizza em 4 pedaços e tivesse pegado apenas um deles.

Lembrando que a área do círculo é $\pi \cdot r^2$ e o raio do setor circular é 6 cm, temos que:

$\mbox{Área do setor circular} = \dfrac{1}{4}\cdot\pi \cdot r^2\\\mbox{Área do setor circular} = \dfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot 6^2\\\mbox{Área do setor circular} = \dfrac{1}{4}\cdot\pi \cdot36\\\mbox{Área do setor circular} = 9\pi\mbox{ }\mbox{cm^2}$

Para obter a área do triângulo roxo, aplicamos os dados que temos na conhecida fórmula "Área do triângulo = base x altura, tudo isso dividido por 2". Temos que a base é 6 e a altura é 6, logo:

$\mbox{Area do tri\^angulo} = \dfrac{Base \cdot Altura}{2}\\\\\mbox{Area do tri\^angulo} = \dfrac{6 \cdot 6}{2}\\\\\mbox{Area do tri\^angulo} = \dfrac{36}{2}\\\\\mbox{Area do tri\^angulo} = 18\mbox{ }cm^2$

Para obter a área da região amarela, pegamos a área do setor e subtraímos a área do triângulo:

$\mbox{Area da regi\~ao amarela} = \mbox{Area do setor laranja} - \mbox{Area do tri\^angulo roxo}\\\mbox{Area da regi\~ao amarela} = 9\pi - 18\\\mbox{Area da regi\~ao amarela} = 9(\pi - 2)\mbox{ } cm^2$

Para obter a área da pétala, multiplicamos a área da região amarela por 2:

$\mbox{Area da petala} = 2 \cdot 9(\pi - 2) \mbox{ } cm^2\\\mbox{Area da petala} = 18(\pi - 2) \mbox{ } cm^2$

Para obter a área da região hachurada, multiplicamos a área da pétala por 4:

$\mbox{Area da regi\~ao hachurada} = 4 \cdot 18(\pi - 2) \mbox{ } cm^2}\\\mbox{Area da regi\~ao hachurada} = 72(\pi - 2) \mbox{ } cm^2$