Question

Determine a área da região entre a curva dada e o eixo x, nos intervalos dados:

y = 3x − x² − 2, [1,2]

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas.

Devemos determinar a área da região entre a curva $y=3x-x^2-2$ e o eixo das abscissas, no intervalo $[1,~2]$.

Primeiro, lembre-se que a área de uma região $R$, delimitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Assim, considerando a função $g(x)=0$, isto é, o eixo das abscissas, a área da região entre uma função e este eixo é igual a área sob a curva no requerido intervalo, calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Assim, substituindo os dados cedidos pelo enunciado, teremos:

$\displaystyle{\int_1^2 3x-x^2-2\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b = F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_1^2 3x\,dx+\int_1^2-x^2\,dx+\int_1^2-2\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{3\cdot\int_1^2 x\,dx-\int_1^2x^2\,dx-2\cdot\int_1^2 1\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$3\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_1^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$3\cdot\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-2\cdot\dfrac{x^{1}}{1}~\biggr|_1^2\\\\\\\ 3\cdot\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-2x~\biggr|_1^2$

Aplique os limites de integração

$3\cdot\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{2^3}{3}-2\cdot2-\left(3\cdot\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^3}{3}-2\cdot1\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$3\cdot\dfrac{4}{2}-\dfrac{8}{3}-4-\left(3\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-2\cdot1\right)\\\\\\\ \dfrac{12}{2}-\dfrac{8}{3}-4-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}+2$

Simplifique as frações e some os valores

Esta é a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo.