Question

Determine a área da região do primeiro quadrante limitada pelo gráfico$f(x) \left \{ {{\sqrt{x}, x\ \textless \ x_{0}} \atop {-x+6}, x\geq x_{0} } \right.$, e o eixo x, no intervalo x=0 e x=b.

Answer 1

Calculamos b como a interseção da reta com o eixo das abcissas:

-x + 6 = 0

x = 6

Calculamos x0 como a interseção das duas curvas:

√x = -x + 6

x = (-x+6)² = x² - 12x + 36

x² - 13x + 36 = 0

x = (13 +/- √(13² - 4*36))/2 = (13 +/- 5)/2 -> x = 9 ou x = 4.

Como x0 é menor que b, o valor dele é x0 = 4.

A área em vermelho é a soma das integrais abaixo:

$\int_{0}^{4}{\sqrt{x}}dx + \int_{4}^{6}{(-x + 6)}dx = \\\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_0^4 + (-x^2/2 + 6x)|_4^6 = \\(\frac{16}{3} - 0) + (18 - 16) = \frac{22}{3}$