Question

Determine a área da região delimitada pelos gráficos y = 2 ln x; y = 0 e x = e.

Answer 1

A área que queremos calcular está representada pela figura abaixo.

Para calcular essa área, utilizaremos a integral definida no intervalo de 1 a e.

Sendo assim, temos que:

$A=\int\limits^e_1 {2ln(x)} \, dx$

Como o 2 está multiplicando todos dentro da integral, então podemos dizer que:

$A=2\int\limits^e_1 {ln(x)} \, dx$.

A integral de ln(x) é calculada a partir da integração por partes.

Sendo assim,

u = ln(x)

du = dx/x

v = x

dv = dx.

Sabemos que a integral por partes é definida por:

∫u.dv = u.v - ∫v.du

Logo,

∫ln(x)dx = x.ln(x) - ∫dx

∫ln(x)dx = x.ln(x) - x + c

Portanto,

A = 2(x.ln(x) - x)

Substituindo os limites de integração:

A = 2(e.ln(e) - e - 1.ln(1) + 1)

Por definição, ln(e) = 1 e ln(1) = 0.

Logo, a área da região delimitada é igual a:

A = 2(e - e - 0 + 1)

A = 2.1

A = 2 ua.