Question

Determine a area da região delimitada pelas parábolas y = 12 − x ^2 e y = x^2 − 6.​

Answer 1

Resposta:

72 u.a.

Explicação passo a passo:

Olha só, eu vou te ajudar mas não sei acho que a pergunta seja de "ensino fundamental"! :D

As duas funções,   e , tem o vértice exatamente sobre o eixo das ordenadas pq são simétricas. Lembra? Se b=0, o ponto c é também o vértice da função.

Sendo simétricas, as duas raízes são números opostos. Ex.: -10 e 10.

Por isso, vc pode calcular a área entre as curvas partindo do ponto 0.

A primeira coisa, é descobrir o ponto onde as parábolas se interceptam.

Pra isso, você iguala as duas.

$12-x^{2} = x^{2} -6\\-2x^{2} =-18\\x^{2} =9\\x=\sqrt{9}\\x=\left \{ {{+3} \atop {-3}} \right.$

Como eu disse lá acima, que vc pode calcular a área à partir do ponto 0, então eu vou usar só o x=3 como ponto de interceptação das duas curvas.

Agora vc integra!

$2\int\limits^3_0 {12-x^{2}-(x^{2}-6) } \, dx \\\\2\int\limits^3_0 {12-x^{2}-x^{2}+6 } \, dx \\\\2\int\limits^3_0 {12-2x^{2}+6 } \, dx \\\\2\int\limits^3_0 {18-2x^{2} } \, dx$

$2 [ 18x - \frac{2x^{3} }{3}]$, pra 0 e 3

Agora vc substitui o x, por 3. Em seguida faz a mesma conta substituindo o x por 0, (que vai dar 0).  Subtrai um do outro e multiplica por 2, pq afinal, toda essa conta foi feita só pra "metade" da parábola e vc precisa da área total.

$2[18*3-\frac{2(3)^3}{3}] - [18*0-\frac{2(0)^3}{3}]\\\\2[18*3-\frac{2(3)^3}{3}] - 0\\\\\\2 [ 54-18]\\\\2*36 = 72 u.a.$