Question

Determine a area da regiao delimitada pela função f(x)= x² e g(x)= 2-x

Answer 1

Oi 

Pra começar vai ter que ter noção de desenho de como vão ficar os gráficos das duas questões pra saber quem tá por cima e quem tá por baixo. 

Se desenhar o gráfico vai saber que primeiro vamos calcular g(x) e depois f(x). Portanto: 

g(x) - f(x) 
2-x -x² 

-x²-x+2=0   

Resolvendo a equação quadrática. Pode ser por aquele cara, o  Bascara. 

x'= -2  e  x'' = 1

Portanto nossos limites de integração vão de -2 até 1  . São os pontos as duas funções se cruzam. (veja no gráfico em anexo)

Montando a integral com os limites de integração: 

$\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)} \, dx \\ \\ \\ -\int\limits^1_{-2} {x^2} \, dx -\int\limits^1_{-2} {x} \, dx+2\int\limits^1_{-2} {} \, dx\\ \\ \\ - \frac{x^3}{3} |^1_{-2} \ \ - \frac{x^2}{2} |^1_{-2} \ \ +2x \ \ |^1_{-2} \\ \\ \\ -( \frac{1^3}{3}- \frac{(-2)^3}{3}) -( \frac{1^2}{2}- \frac{(-2)^2}{2} ) +2(1-(-2)) \\ \\ \\ -( \frac{1}{3}+ \frac{8}{3})-( \frac{1}{2} - \frac{4}{2})+2(3) \\ \\ - \frac{9}{3}-(- \frac{3}{2})+6 \\ \\ -3+ \frac{3}{2}+6 \\ \\ \frac{3}{2}+3 = \frac{9}{2}$

A área vale 9/2  u.a.

Espero que goste. Comenta depois :)