Question

determine a área da região compreendida entre as duas curvas y= 7-x^2 e y= x^2 +4

Answer 1

$\bmatrix y_a=7-x^2\\y_b=x^2+4\end$

as curvas vão se interceptar quando

$ya = yb\\7-x^2=x^2+4\\0=x^2+x^2+4-7\\0=2x^2-3\\ \frac{3}{2}=x^2\\\\\boxed{ \boxed{\pm \sqrt{ \frac{3}{2} }=x } }$

esse é o intervalo da região procurada
$- \sqrt{ \frac{3}{2} } \leq x \leq \sqrt{ \frac{3}{2} }$

ya é uma parabola em forma de ∩
yb é uma parabola em forma de ∪

então na região entre as duas
ya está por cima e yb por baixo, vc pode ver isso se esboçar o grafico

a integral que calcula a area será

$A= \int\limits^a_b {(y_a-y_b)} \, dx\\\\ A=[tex]A=3 \sqrt{ \frac{3}{2}} - \frac{2(\sqrt{ \frac{3}{2}} )^3}{3} +3\sqrt{ \frac{3}{2}} - \frac{2(\sqrt{ \frac{3}{2}} )^3}{3} \\\\A=6 \sqrt{ \frac{3}{2}}- \frac{4( \sqrt{ \frac{3}{2}})^3}{3} \\\\A= 6\sqrt{ \frac{3}{2} } - \frac{4 \sqrt{ \frac{3^3}{2^3} } }{3} \\\\A=6\sqrt{ \frac{3}{2} }- \frac{4* \frac{3}{2}\sqrt{ \frac{3}{2} } }{3} \\\\A=6\sqrt{ \frac{3}{2} }-2\sqrt{ \frac{3}{2} }\\\\A=4\sqrt{ \frac{3}{2} } =2^2* \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\A=2\sqrt{2}*\sqrt{3}$

$\boxed{\boxed{A=2\sqrt{6}}} }$