Question

Determine a área da coroa circular da figura abaixo, sabendo-se que o segmento PQ, medindo 8 cm, é tangente à circunferência menor no ponto T.

(A) 8pi cm²
(B) 16pi m²
(C) 24pi cm²
(D) 32pi cm²

Answer 1

Sejam r o raio da circunferência maior e R o raio da maior. Analisando o triângulo OPT, podemos observar o seguinte:

$OP = R\\\\OT = r\\\\ PT = \dfrac{PQ}{2}\Longrightarrow PT=\dfrac{8}{2}~cm\Longrightarrow PT = 4~cm$

Queremos descobrir o valor da área da coroa circular entre as circunferências, a qual pode ser calculada subtraindo-se a área da circunferência menor da área da maior. Assim:

$A_{coroa} = A_{circ_{maior}}-A_{circ_{menor}}\\\\ A_{coroa} = \pi R^2-\pi r^2\\\\ A_{coroa} = \pi(R^2-r^2)~~~(i)$

Como o segmento PQ é tangente à circunferência menor em T, o segmento OT é perpendicular a PQ. Desse modo, o triângulo OPT apresenta um ângulo reto em T. Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$OT^2+PT^2 = OP^2\\\\ r^2+4^2 = R^2\\\\ r^2+16 = R^2\\\\ R^2-r^2 = 16~~~(ii)$

Substituindo na equação (i) o que foi obtido em (ii):

$A_{coroa} = \pi(R^2-r^2)\\\\ A_{coroa} = \pi\cdot16\\\\ \boxed{A_{coroa} = 16\pi~cm^2}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{B}$

Portanto, a resposta é a alternativa B.