Question

Determine a amplitude, a imagem e o período das funções:
a) y=8sen(5x) + 7
b) y=-5cos(5x/6 - pi/6)-3

Answer 1

Antes, vamos introduzir alguns conceitos sobre funções trigonométricas envolvendo seno e cosseno, que podem ser escritas da seguinte forma:

$\mathtt{y=A\,sen(\omega x+\phi)+k}\\\\ \mathtt{y=A\,cos(\omega x+\phi)+k}$

sendo $\mathtt{A,\,\omega,\,\phi,\,k}$ constantes reais, com $\mathtt{A\ne 0}$ e $\mathtt{\omega\ne 0}.$

_________

Para as funções dadas,

•   a amplitude é $\mathtt{|A|;}$


•   o período é

$\mathtt{T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}}$


•   o conjunto imagem é

$\mathtt{Im(f)=\{y\in\mathbb{R}:~-|A|+k\le y\le |A|+k\}}$


ou em notação de intervalos,

$\mathtt{Im(f)=\big[\!-|A|+k,\,|A|+k\big]}.$

__________

a) $\mathtt{y=8\,sen(5x)+7}$

Aqui, temos

$\mathtt{A=8,\;\omega=5,\;\phi=0,\;k=7}.$


Daqui, tiramos que

•   A amplitude é $\mathtt{|A|=8;}$


•  O período é

$\mathtt{T=\dfrac{2\pi}{5};}$


•   O conjunto imagem é

$\mathtt{Im(f)=\big[\!-8+7,\;8+7]}\\\\ \mathtt{Im(f)=\big[-1,\,15]}.$


b) $\mathtt{y=-5\,sen\!\left(\dfrac{5x}{6}-\dfrac{\pi}{6}\right)-3}$

Aqui, temos

$\mathtt{A=-5,\;\omega=\dfrac{5}{6},\;\phi=-\dfrac{\pi}{6},\;k=-3}.$


Daqui, tiramos que

•   A amplitude é $\mathtt{|A|=5;}$


•  O período é

$\mathtt{T=\dfrac{2\pi}{~\frac{5}{6}~}}\\\\\\ \mathtt{T=2\pi\cdot \dfrac{6}{5}}\\\\\\ \mathtt{T=\dfrac{12\pi}{5};}$


•   O conjunto imagem é

$\mathtt{Im(f)=\big[\!-5-3,\;5-3]}\\\\ \mathtt{Im(f)=\big[\!-8,\;2]}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)