Question

Determine a altura H no diagrama da escada a seguir
a)315
b)336
c)350
d)415
e)420

Answer 1

Observe a figura em anexo.

Os triângulos $ABC$ e $DEF$ são semelhantes, pois possuem dois de seus ângulos internos congruentes entre si.


Encontramos a medida da hipotenusa $\overline{AB}$ aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo $ABC:$

$\left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=\left[\mathrm{med}(\overline{AC}) \right ]^{2}+\left[\mathrm{med}(\overline{BC}) \right ]^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=28^{2}+21^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=(7\cdot 4)^{2}+(7\cdot 3)^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=7^{2}\cdot 4^{2}+7^{2}\cdot 3^{2}$


Colocando $7^{2}$ em evidência no lado direito, temos

$\left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=7^{2}\cdot \left(4^{2}+3^{2} \right )\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=7^{2}\cdot \left(16+9 \right )\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=7^{2}\cdot 25\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=7^{2}\cdot 5^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=(7\cdot 5)^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]^{2}=35^{2}\\ \\ \left[\mathrm{med}(\overline{AB}) \right ]=35$


Como os dois triângulos são semelhantes, podemos fazer a proporção entre os lados correspondentes. Por exemplo:

$\mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{\mathrm{med}(\overline{BC})}{\mathrm{med}(\overline{AB})}=\dfrac{\mathrm{med}(\overline{EF})}{\mathrm{med}(\overline{DE})}\\ \\ \\ \dfrac{21}{35}=\dfrac{H}{560}\\ \\ \\ H=560\cdot \dfrac{21}{35}\\ \\ \\ H=336$


Resposta: alternativa $\text{b) }336.$