Question

Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3)
e D(0,6,0).

Answer 1

A altura do tetraedro é igual a h =  4√6/11

Primeiramente, vamos determinar o volume do tetraedro.

Para isso, sendo A = (1,3,1), B = (0,-2,4), C = (2,1,-3) e D = (0,-6,0), temos os vetores:

AB = (-1,-5,3)

AC = (1,-2,-4)

AD = (-1,-9,-1).

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC:

AB x AC = 26i - j + 7k

AB x AC = (26,-1,7).

Por fim, temos que calcular o produto interno entre os vetores AB x AC e AD.

Logo,

<AB x AC, AD> = (-1).26 + (-9).(-1) + (-1).7

<AB x AC, AD> = -26 + 9 - 7

<AB x AC, AD> = -24.

Portanto, o volume do tetraedro é igual a:

V = |-24|/6

V = 24/6

V = 4.

Sabemos que o volume do tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

A área da base será metade da norma de AB x AC, ou seja,

2Ab = √26² + 1² + 7²

2Ab = √726

Ab = √726/2

Portanto,

4 = 1/3.√726/2.h

√726h =24

h =  4√6/11.