Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3)
e D(0,6,0).
Soluções para a tarefa
A altura do tetraedro é igual a h = 4√6/11
Primeiramente, vamos determinar o volume do tetraedro.
Para isso, sendo A = (1,3,1), B = (0,-2,4), C = (2,1,-3) e D = (0,-6,0), temos os vetores:
AB = (-1,-5,3)
AC = (1,-2,-4)
AD = (-1,-9,-1).
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC:
AB x AC = 26i - j + 7k
AB x AC = (26,-1,7).
Por fim, temos que calcular o produto interno entre os vetores AB x AC e AD.
Logo,
<AB x AC, AD> = (-1).26 + (-9).(-1) + (-1).7
<AB x AC, AD> = -26 + 9 - 7
<AB x AC, AD> = -24.
Portanto, o volume do tetraedro é igual a:
V = |-24|/6
V = 24/6
V = 4.
Sabemos que o volume do tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
A área da base será metade da norma de AB x AC, ou seja,
2Ab = √26² + 1² + 7²
2Ab = √726
Ab = √726/2
Portanto,
4 = 1/3.√726/2.h
√726h =24
h = 4√6/11.