Question

Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dado.
A resposta da questão é $h=\frac{4R}{3}$
Mas preciso da resolução da questão ou pelo menos o meio de se chegar à essa conclusão.
Dica: Usar conceitos de derivada e pontos de máximo da função.

Answer 1

Mano não consegui inserir a resposta nesse site. Porém a resposta para sua dúvida se encontra nesse site aqui, da uma olhada. Abraços espero ter ajudado!

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/probl_otimizacao/problemas/problema9.htm

Answer 2

Olá

Primeiro Cilindro:

r o raio da base ;

h a sua altura;

volume = π . r² . h

Usando a simetria, o centro de gravidade do cilindro coincide com o centro da esfera e o triângulo retângulo de hipotenusa R e seus catetos r e h/2.

Teorema de Pitágoras

r = √(R² - h²/4)

Aplicando na expressão v.

v = π.(R²-h²/4).h

v = π.(r².h-h³/4)

Encontrando o volume máximo igualamos a zero.

dv/dh = π(R²-3.h²/4/=0

3h²/4 =R²

h = 4.R²/√3

Segundo cone

r = raio da base;

h = altura do cone

volume v = π.r².h/3

O centro de gravidade coincide com o centro da esfera.

Portanto temos um triângulo retângulo de hipotenusa R e catetos h - R e r.

Aplicando Teorema de Pitágoras

$r=\sqrt{R^2-(h-R^2)}$

$r=\sqrt{2.R.h-h^2}$

Substituindo na equação v.

v=π.(2.R.h-h²).h/3

v=(π/3). (2.R.h²-h³

igualando a zero.

dv/dh=(π/3).(4.R.h-3.h²)=0

3.h² =4.R.h

3.h=4.R

h = 4.R/3

Espero ter ajudado.