Question

Determine a alternativa, que representa a equação geral do plano determinado pelos pontos.

A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C=(1,1,-1)

A) -4x -5y+3z -6=0
B) 4x +y+z -6=0
C) x +y+z -7=0
D) 4x +5y+3z -6=0
E) x +5y+3z -7=0 ​

Answer 1

Resposta:

$4x +5y +3z -6 = 0$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente é preciso ter em mente que para encontrar a equação geral de um plano precisamos de um Vetor normal ao plano e um ponto pertencente ao plano. Usaremos o ponto A (-1,2,0)!

Para encontrar um vetor normal ao plano faremos primeiro dois vetores diretores ao plano utilizando os pontos fornecidos:

Vetor AB = B - A = (2,-1,1) - (-1,2,0) = (3,-3,1)

Vetor AC = C - A = (1,1,-1) - (-1,2,0) = (2,-1,-1)

Tendo dois vetores diretores em mãos podemos encontrar um vetor normal ao plano calculando o determinante da matriz (nesse caso pelo método de La Place):

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-3&1\\2&-1&-1\end{array}\right] = i.[(-3.-1) - (1.-1)] -j.[(3.-1) - (1.2)] + k.[(3.-1) - (-3.2)] = 4i +5j +3k = vetor normal (4,5,3)$

Por fim basta encontrar a equação: $a.(x-x_{0} ) + b.(y-y_{0}) + c(z-z_{o})$ onde a,b e c são as coordenadas do vetor normal e $x_{0},y_{0}, z_{0}$ são as coordenadas do ponto (nesse caso o ponto A). Temos a seguinte equação:

$4.[x-(-1)] + 5.(y-2) + 3.(z-0) = 4x +4 +5y -10 +3z = 0$

⇒ $4x +5y +3z -6 = 0$