Question

Determine
a) a soma dos seis primeiros termos da PG (2, –4, 8, …).
b) a soma dos oito primeiros termos da PG (640, 320, 160, …).
c) a soma dos infinitos termos da PG infinita (20, 10, 5, …).
d) a soma dos termos da PG (1, 2, …, 512)

Answer 1

A soma dos seis primeiros termos da PG (2, -4, 8, ...) é -42.

A soma dos termos de uma PG finita é dada pela seguinte expressão:

Sn = a1 . (1 - qⁿ)/(1 - q)

A soma dos termos de uma PG infinita é dada pela seguinte expressão:

S = a1/(1 - q)

a) Desta PG, sabemos que o primeiro termo é 2 e a razão é -2, logo:

S6 = 2 . (1 - (-2)⁶)/(1 - (-2))

S6 = 2 . (1 - 64)/3

S6 = -42

b) Desta PG, sabemos que o primeiro termo é 640 e a razão é 1/2, logo:

S8 = 640 . (1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)

S8 = 640 . (1 - 1/256)/(1/2)

S8 = 640 . (255/256)/(1/2)

S8 = 1280 . (255/256)

S8 = 1275

c) O primeiro termo desta PG infinita é 20 e sua razão é 1/2, logo:

S = 20/(1 - 1/2)

S = 40

d) O primeiro termo desta PG finita é 1 e sua razão é 2. Também sabemos que seu último termo é 512 que corresponde a 2⁹, logo, essa PG possui 10 termos:

S10 = 1 . (1 - 2¹⁰)/(1 - 2)

S10 = 1023/-1

S10 = 1023

Answer 2

A soma dos termos das PGs são: a) -42; b) 1275; c) 40; d) 1023.

Vale lembrar que:

• A soma dos termos de uma PG finita é $S=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$;
• A soma dos termos de uma PG infinita é $S=\frac{a_1}{1-q}$.

a) Observe que o primeiro termo é 2, a razão vale $\frac{-4}{2}=-2$ e a quantidade de termos é 6.

Substituindo esses valores na primeira fórmula, obtemos:

$S=\frac{2(1-(-2)^6)}{1-(-2)}=\frac{2(1-64)}{1+2}=\frac{2.(-63)}{3}=2.(-21)=-42$.

b) Nessa PG, o primeiro termo é 640, a quantidade de termos é 8 e a razão é $\frac{320}{640}=0,5$.

Usando a primeira fórmula, encontramos:

$S=\frac{640(1-(0,5)^8)}{1-0,5}=\frac{640.0,99609375}{0,5}=\frac{637,5}{0,5}=1275$.

c) O primeiro termo é 20 e a razão é $\frac{10}{20}=0,5$. Como queremos a soma dos infinitos termos, usaremos a segunda fórmula:

$S=\frac{20}{1-0,5}=\frac{20}{0,5}=40$.

d) Nesse caso, precisamos calcular a quantidade de termos. Para isso, lembre-se que aₙ = a₁.qⁿ⁻¹. Então:

512 = 1.2ⁿ⁻¹

2⁹ = 2ⁿ⁻¹

n - 1 = 9

n = 10.

Portanto, a soma dos termos é:

$S=\frac{1(1-2^{10})}{1-2}=\frac{1-1024}{-1}=1023$.

Para mais informações sobre progressão geométrica, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/14891147