Question

Determine a) a soma dos 11 primeiros termos da PA (5, 8, ...). b) a soma dos 9 primeiros termos da PA (–5, –10, ...). c) a soma dos 6 primeiros termos da PA em que a1 = –9 e r = 7. d) o número de termos de uma PA em que Sn = 710, a1 = 7 e an = 64.

Answer 1

A soma dos 11 primeiros termos da P.A. é 220; A soma dos 9 primeiros termos da P.A. é -225; A soma dos 6 primeiros termos da P.A. é 51; O número de termos da P.A. é 20.

É importante lembrarmos que a soma dos termos de uma progressão aritmética é igual a:

• $S=\frac{(a_n + a_1).n}{2}$.

a) Vamos calcular o 11º termo. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral da progressão aritmética, que é aₙ = a₁ + (n - 1).r.

Da P.A. (5, 8, ...) temos que a₁ = 5, n = 11 e r = 3. Logo:

a₁₁ = 5 + (11 - 1).3

a₁₁ = 5 + 10.3

a₁₁ = 5 + 30

a₁₁ = 35.

Logo, a soma dos 11 primeiros termos é:

$S=\frac{(35 + 5).11}{2}=\frac{40.11}{2} = 220$.

b) Na P.A. (-5, -10, ...) temos que a₁ = -5, n = 9 e r = -5. Logo, o 9º termo é:

a₉ = -5 + (9 - 1).(-5)

a₉ = -5 + 8.(-5)

a₉ = -5 - 40

a₉ = -45.

Portanto, a soma dos 9 primeiros termos é igual a:

$S=\frac{(-45 - 5).9}{2}=\frac{(-50).9}{2} = -225$.

c) Como n = 6, a₁ = -9 e r = 7, então o 6º termo é igual a:

a₆ = -9 + (6 - 1).7

a₆ = -9 + 5.7

a₆ = -9 + 35

a₆ = 26.

Portanto, a soma dos 6 primeiros termos da P.A. é:

$S=\frac{(-9 + 26).6}{2}=\frac{17.6}{2} = 51$.

d) Se a soma dos termos é igual a 710, o primeiro termo é igual a 1 e o último termo é igual a 64, então:

$710 = \frac{(7 + 64).n}{2}$

710.2 = 71n

1420 = 71n

n = 20.

Answer 2

(a) A soma dos 11 primeiros termos da PA é 220.

(b) A soma dos 9 primeiros termos da PA é -225.

(c) A soma dos 6 primeiros termos da PA é 51.

(d) O número de termos da PA é 20.

Essa questão se trata de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu sucessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1).r, sendo r é a razão calculada por r = aₙ - aₙ₋₁.

A soma dos termos pode ser calculada por:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2

a) Nesta PA, temos:

a₁ = 5

r = 8 - 5 = 3

S₁₁ = (5 + 5 + (11 - 1)·3)·11/2

S₁₁ = 220

b) Nesta PA, temos:

a₁ = -5

r = -10 - (-5) = -5

S₉ = (-5 + (-5) + (9 - 1)·(-5))·9/2

S₉ = -225

c) Nesta PA, temos:

a₁ = -9

r = 7

S₆ = (-9 + (-9) + (6 - 1)·7)·6/2

S₆ = 51

d) Nesta PA, temos:

a₁ = 7

aₙ = 64

Sₙ = 710

710 = (7 + 64)·n/2

n = 710·2/71

n = 20

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