Question

Determine:


a) a Equação Segmentária da reta r cuja equação Paramétrica é dada pelos valores: x = 4t e y = 3t – 1.


b) a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:

/3 + /8 = 1​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) x=4t --> t = x/4

y = 3t - 1 ---> t = (y+1)/3

x/4 = (y+1)/3

3x-4y-4 = 0

===//===

b) x/3 + y/8 = 1

8x + 3y = 24

8x + 3y - 24 = 0

==//==

(x1, y1) é um ponto genérico dessa reta. Logo podemos escrever:

{8x + 3y - 24 = 0

{8x1 + 3y1 - 24 = 0, subtraindo membro a membro temos:

-------------------------

8x - 8x1 +3y - 3y1 = 0

8(x-x1) + 3(y-y1) = 0

8(x-x1) = -3(y-y1) = 0

(x-x1)/-3 = (y-y1)/8 = t

{(-x+x1)/3  = t. Logo x = x1-3t

{ (y-y1)/8 = t. Logo y = y1 + 8t

Para x1 = 0 e y1 = 8, por exemplo, temos:

{x = -3t

{y = 8+8t

que é, dentre os milhares que existem, um dos pares de equações paramétricas da reta supracitada.

Tem uma solução também por vetor, vc quer?

Answer 2

Resposta:

a) x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1  Equação segmentária da reta “r”

b) A  Equação Paramétrica da reta "r"

{ x =  t + 5

{ y = - 8t / 3 – 16/3

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

a) Calcular a Equação Segmentária da reta r cuja equação Paramétrica é dada pelos valores:

x = 4t     e     y = 3t – 1.

b) Calcular a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:

x/3 + y/8 = 1  

Resolução:

Nota prévia → As equações pedidas estão determinadas.

No entanto coloquei explicação quase total das etapas e cálculos feitos.

Quem quiser aprender como se faz , aqui está.

Revi várias vezes e espero não ter erros. Se os encontrar avise-me para eu os poder corrigir.

a) a Equação Segmentária da reta r cuja Equação Paramétrica é dada pelos valores:

x = 4t   e  y = 3t – 1  

1ª etapa -  Encontrar e equação geral da reta r

Resolver em ordem a “t” as duas equações dadas

x = 4t     Dividir ambos os membros da equação por 4

x/4 = 4t/4  

No 2º membro, o 4 do numerador cancela-se com o 4 do denominador

x/4 = t   já está resolvida em ordem a "t"

Agora  y = 3t – 1

Passar – 1 para o 1º membro, trocando o sinal

y  + 1 = 3t      Dividir tudo por 3

( y + 1 ) / 3  = 3t/3

No 2º membro o 3 do numerador cancela-se com o 3 do denominador

( y + 1 ) / 3 = t

Preste-se muita atenção agora !

Temos que o  t = x/4      e  o   t = ( y + 1 ) / 3  

Porque o “t” é igual a duas coisas diferentes , ao mesmo tempo, então essas coisas diferentes são iguais entre si.

x/4 = ( y + 1 ) / 3  

Multiplicar a fração no 1º membro por 3.

Multiplicar a fração no 2º membro por 4.

Objetivo é que tenhamos só frações com o mesmo denominador.

3x /(3*4)  = (4 * ( y + 1)) / (3*4)

3x/12 = (4 * ( y + 1)) / 12

Agora que todas as frações, na equação, têm o mesmo denominador podemos retirar os denominadores.

( a regra em Matemática não bem assim; o que diz é que multiplicando todos os termos por 12, este valor vai cancelar-se com os denominadores 12 )

3x =  4 * ( y + 1)

Usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

( conhecida vulgarmente como regra do “chuveirinho” )

3x = 4 * y + 4 * 1

3x = 4y + 4

Passar tudo para 1º membro, trocando o sinal

3x – 4y – 4 = 0      Temos a equação geral da reta

2ª etapa – Encontrar a equação segmentária

Pegando na Equação Geral encontrada  

3x – 4y – 4 = 0

Passar “- 4” para 2º membro

3x – 4 y = 4

Dividindo por 4, todos os termos

3x/4 – 4y / 4 = 4 / 4

3x/4 – y/1 = 1

Dividir  o termo 3x/4 por 3  = x / ( 4 /3 )

x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1    Equação segmentária da reta “r”

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

b) a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:

x/3 + y/8 = 1  

1ª etapa -  Encontrar e equação geral da reta r

x/3 + y/8 = 1  

⇔ x/3 + y/8 = 1/ 1

Multiplicar a 1ª fração , o numerador e o denominador por 8 ; semelhantemente  para  a 2ª fração, agora multiplicando por 3  ;

 e  de forma análoga para a 3ª fração ao multiplicar por 24.

Objetivo → ter todos os denominadores iguais.

⇔ 8x/( 3*8 ) + 3y/ (8 * 3) = 24/24

⇔ 8x/24 + 3y/24 = 24/24

Agora que estão todos os denominadores iguais, na equação, podem ser retirados.

⇔ 8x + 3y = 24

( em termos exatos a Equação Geral da reta é 8x +3y - 24 = 0 ;

mas como a seguir se vai passar o "- 24" para o 2º membro,

já se deixou lá ficar )

2ª etapa  - Obter a Equação Paramétrica

Por escolha nossa  ( e existem uma infinidade de escolhas possíveis)

vai-se mudar de parâmetro, em vez de x e de y , vai ficar "t".

x =  t + 5    ( escolhido por nós)  equação 1 da Equação Paramétrica

Nestes problemas quer-se que "x" ( e "y" ) se transformem numa expressão algébrica com apenas um parâmetro ( "t" ). Vai ser muito útil.

Então  substituímos o valor de "x" , ou seja o "t + 5" na Equação Geral da Reta

8 * ( t + 5 ) + 3y = 24

8t + 40 + 3y = 24

Resolvendo em ordem a “y” , no 1º membro fica apenas o termo em y, para o 2º membro vão termos sem "y", trocando o sinal ao mudar de membro.

3y = - 8t – 40 + 24

3y = - 8t – 16

Dividindo tudo por 3

3y/3  = - 8t / 3 – 16/3

y = - 8t / 3 – 16/3     equação 2     da Equação Paramétrica

Temos assim a Equação Paramétrica de reta “r” ( na realidade é um sistema  duas equações a duas incógnitas  )

{ x =  t + 5

{ y = - 8t / 3 – 16/3  

+++++++++++++++++++++++++

Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir  

++++++++++++++++++++++++++++

Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.