Question

Determine:
a) a Equação Segmentária da reta r cuja equação Paramétrica é dada pelos valores:
x = 4t e y = 3t – 1.
b) a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:
/3 + /8 = 1

Answer 1

Resposta:  

a) x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1  Equação segmentária da reta “r”

b) A  Equação Paramétrica da reta "r"

{ x =  t + 5

{ y = - 8t / 3 – 16/3

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

a) Calcular a Equação Segmentária da reta r cuja equação Paramétrica é dada pelos valores:

x = 4t e y = 3t – 1.

b) Calcular a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:

x/3 + y/8 = 1  

Resolução:

Nota prévia → As equações pedidas estão determinadas.

No entanto coloquei explicação quase total das etapas e cálculos feitos.

Quem quiser aprender como se faz , aqui está.

Revi várias vezes e espero não ter erros. Se os encontrar avise-me para eu os poder corrigir.

 

a) a Equação Segmentária da reta r cuja Equação Paramétrica é dada pelos valores:

 x = 4t   e  y = 3t – 1  

 

1ª etapa -  Encontrar e equação geral da reta r

Resolver em ordem a “t” as duas equações dadas

 

x = 4t     Dividir ambos os membros da equação por 4

x/4 = 4t/4  

No 2º membro, o 4 do numerador cancela-se com o 4 do denominador

x/4 = t

Agora  y = 3t – 1

Passar – 1 para o 1º membro, trocando o sinal

y  + 1 = 3t      Dividir tudo por 3

( y + 1 ) / 3  = 3t/3

No 2º membro o 3 do numerador cancela-se com o 3 do denominador

( y + 1 ) / 3 = t

 Preste-se atenção agora.

Temos que t = x/4      e   t = ( y + 1 ) / 3  

Porque o “t” é igual a duas coisas diferentes , ao mesmo tempo, então essas coisas diferentes são iguais entre si.

x/4 = ( y + 1 ) / 3  

Multiplicar a fração no 1º membro por 3.

Multiplicar a fração no 2º membro por 4.

Objetivo é que tenhamos só frações com o mesmo denominador.

 

3x /(3*4)  = (4 * ( y + 1)) / (3*4)

3x/12 = (4 * ( y + 1)) / 12

Agora que todas as frações, na equação, têm o mesmo denominador podemos retirar os denominadores

3x =  4 * ( y + 1)

Usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( conhecida vulgarmente como regra do “chuveirinho” )

3x = 4 * y + 4 * 1

3x = 4y + 4

Passar tudo para 1º membro, trocando o sinal

3x – 4y – 4 = 0

Temos a equação geral da reta

2ª etapa – Encontrar a equação segmentária  

3x – 4y – 4 = 0

Passar “- 4” para 2º membro

3x – 4 y = 4

Dividindo por 4, todos os termos

3x/4 – 4y / 4 = 4 / 4

3x/4 – y/1 = 1

 

Dividir  o termo 3x/4 por 3  = x / ( 4 /3 )

 

x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1  Equação segmentária da reta “r”

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

b) a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{8} = 1$

1ª etapa -  Encontrar e equação geral da reta r

x/3 + y/8 = 1  

⇔ x/3 + y/8 = 1/ 1

Multiplicar a 1ª fração por 8 ; a 2ª fração por 3  ;  e a 3ª fração por 24

⇔ 8x/( 3*8 ) + 3y/ (8 * 3) = 24/24

⇔ 8x/24 + 3y/24 = 24/24

Agora que estão todos os denominadores iguais, na equação, podem ser retirados.

⇔ 8x + 3y = 24

 ( em termos exatos a Equação Geral da reta é 8x + 3y - 24 = 0 ;

mas como a seguir se vai passar o "- 24" para o 2º membro,

já se deixou lá ficar )

2ª etapa  - Obter a Equação Paramétrica

Por escolha nossa  ( e existem uma infinidade de escolhas possíveis)

vai-se mudar de variável:

Dizemos que escolhemos  que   x =  t + 5    ( escolhido por nós)  

Então  

8 * ( t + 5 ) + 3y = 24

8t + 40 + 3y = 24

Resolvendo em ordem a “y” , no 1º membro fica apenas o termo em y

3y = - 8t – 40 + 24

3y = - 8t – 16

Dividindo tudo por 3

3y/3  = - 8t / 3 – 16/3

y = - 8t / 3 – 16/3

Temos assim a Equação Paramétrica de reta “r” ( na realidade é um sistema  duas equações a duas incógnitas  )

 

{ x =  t + 5

{ y = - 8t / 3 – 16/3  

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.