Question

Determine a 7° termo da p.g (3,12,48...)

Answer 1

Boa tarde! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.G. (3, 12, 48, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3

b)sétimo termo (a₇): ?

c)número de termos (n): 7 (Justificativa: Embora a PG seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PG infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 7º), equivalente ao número de termos.)

(II)Determinação da razão (q) da progressão geométrica:

q = a₂ / a₁ =>

q = 12 / 3 (Simplificação: dividem-se o numerador 12 e o denominador 3 por 23, que é o máximo divisor entre eles.)

q = 12(:3)/3(:3) =>

q = 4/1

q = 4

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o décimo termo:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = 3 . (4)⁷⁻¹ =>

a₇ = 3 . (4)⁶ (Para facilitar o cálculo, note que 4 pode ser escrito como 2².)

a₇ = 3 . (2²)⁶ (Aplica-se, no fator destacado, a propriedade da potência de potência, que diz que o resultado será determinado pela conservação da base e pela multiplicação dos expoentes.)

a₇ = 3 . (2²ˣ⁶) =>

a₇ = 3 . (2¹²)

a₇ = 3 . (2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2) =>

a₇ = 3 . (16.2.2.2.2.2.2.2.2) =>

a₇ = 3 . (64.2.2.2.2.2.2) =>

a₇ = 3 . (512.2.2.2) =>

a₇ = 3 . 4096 =>

a₇ = 12288

Resposta: O sétimo termo da PG(3, 12, 48, ...) é 12288.

DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

-Substituindo a₇ = 12288 na fórmula do termo geral da PG, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

12288 = 3 . (4)⁷⁻¹ =>

12288 = 3 . (4)⁶ =>

12288 = 3 . (4.4.4.4.4.4) =>

12288 = 3 . (16.4.4.4.4) =>

12288 = 3 . (64.4.4.4) =>

12288 = 3 . (256.4.4) =>

12288 = 3 . (1024.4) =>

12288 = 3 . 4096 =>

12288 = 12288

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!

Answer 2

Começamos calculando a razão:

             $razao=\frac{a_{n+1}}{a_n}\\\\razao=\frac{a_2}{a_1}\\\\razao=\frac{12}{3}\\\\razao=4$

Agora para calcular o 7° termo utilizamos a equação do termoa geral:

             $a_n=a_1.q^{n-1}\\\\\\a_7=3\,.\,4^{7-1}\\\\\\a_7=3\,.\,4^6\\\\\\a_7=3\,.\,4096\\\\\\a_7=12288$