Question

determine 7.x = 1(mod 11)

Answer 1

Resposta: x = 11n + 8

com n ∈ ℤ,

ou em notação de congruência,

     $x\equiv 8~~\mathrm{(mod~}11).$

Explicação passo a passo:

Resolver a equação congruência modular

     $7x\equiv 1~~\mathrm{(mod~}11)\qquad\mathrm{(i)}$

Reescrevendo a congruência utilizando a definição, temos

     $\Longleftrightarrow\quad 7x-1=11y\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7x=11y+1\qquad\mathrm{(ii)}$

para algum y inteiro.

• Método 1:

Temos mdc(7, 11) = 1. Então, uma forma de se resolver a congruência (i) e isolar o x é respondendo a seguinte pergunta:

Qual múltiplo de 7, que ao ser dividido por 11 deixa resto 1 (um)?

Olhando para os primeiros múltiplos de 7, encontramos

     $7\cdot 8=56=55+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot 8=11\cdot 5+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot 8\equiv 1~~\mathrm{(mod~}11)\qquad\mathrm{(iii)}$

Nesse caso, dizemos que o x = 8 é um representante da classe inversa do 7, módulo 11.

Aplicando umas das propriedades operatórias, podemos multiplicar ambos os lados da congruência (i) por 8, e obtemos

     $\Longrightarrow\quad 8\cdot 7x\equiv 8\cdot 1~~\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8\cdot 7)x\equiv 8~~\mathrm{(mod~}11)\\\\ \overset{\mathrm{(iii)}}{\Longleftrightarrow}\quad 1x\equiv 8~~\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 8~~\mathrm{(mod~}11)$

• Método 2:

Resolvendo a equação (ii) aplicando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas com quociente e resto)

     11 = 7 + 4

     7 = 4 + 3

     4 = 3 + 1

Da última linha, tiramos

     $1=4-3$

Eliminamos o 3, reescrevendo-o como 3 = 7 - 4, conforme consta na segunda linha.

     $\Longleftrightarrow\quad 1=4-(7-4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1=4-7+4\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1=7\cdot (-1)+4\cdot 2$

Eliminamos o 4, reescrevendo-o como 4 = 11 - 7, conforme consta na primeira linha do algoritmo:

    $\Longleftrightarrow\quad 1=7\cdot (-1)+(11-7)\cdot 2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1=7\cdot (-1)+11\cdot 2 + 7\cdot (-2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1=11\cdot 2+7\cdot (-3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot (-3)=11\cdot (-2)+1$

Então encontramos o par $(x,\,y)=(-3,\,-2)$ como possível solução para a equação (ii).

Nesse caso o valor de x = - 3 também é um representante da classe inversa do 7, módulo 11, pois

     $7\cdot (-3)=-21=-22+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot (-3)=11\cdot (-2)+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot (-3)\equiv 1~~\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot (11-3)\equiv 1~~\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7\cdot 8\equiv 1~~\mathrm{(mod~}11)$

Logo a resposta é

    x = 11n + 8

com n ∈ ℤ.

Bons estudos!