Question

determine 3 números ímpares e consecutivos sabendo que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.

Answer 1

Olá, Foi.

 

A característica geral dos números ímpares é que são números consecutivos a um número par.

 

Portanto, a representação geral de um número ímpar é:

 

$<var>\text{Como }2n\text{ \'e par},n\in\mathbb{N} \Rightarrow \boxed{2n+1\text{ \'e \'impar}}</var>$

 

Uma sequência de três números ímpares consecutivos é, portanto:

 

$<var>(2n+1,2n+3,2n+5)</var>$

 

O problema pede três números ímpares consecutivos tais que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.

 

Portanto:

 

$<var>(2n+1)(2n+3)(2n+5)=7(2n+1+2n+3+2n+5) \Rightarrow \\\\ (4n^2+8n+3)(2n+5)=7(6n+9) \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+46n+15=42n+63 \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+4n-48=0 \Rightarrow \ (\div4)\\\\ 2n^3+9n^2+n-12=0 \Rightarrow \\\\ </var>$

 

Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:

 

Se  $\frac{p}{q}$  é raiz da equação polinomial $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0,$

então:

 

$p$  é divisor de  $a_0$  e  $q$  é divisor de  $a_n.$

 

No caso, para que  $2n^3+9n^2+n-12=0$  possua raízes racionais do tipo  $\frac{p}{q},$ devemos ter:

 

(1)  $p$  divisor de 12, ou seja: $p=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$

 

(2)  $q$  divisor de 2, ou seja: $q=\pm1,\pm2$

 

Testando-se os valores possíveis de  $\frac{p}{q}$  na equação, verificamos que  $<var>n=\frac{p}{q}=\frac{1}{1}=1</var>$  é uma solução desta equação.

 

Portanto, os três números ímpares consecutivos cujo produto é igual a sete vezes o valor de sua soma são:

 

$<var>(2n+1,2n+3,2n+5)=(2\cdot1+1,2\cdot1+3,2\cdot1+5)=\\\\ =\boxed{(3,5,7)}</var>$