Question

Determinar x, y e z para que a matriz A seja simétrica:

A= 1 x 5
2 7 -4
y z -3

Answer 1

Boa noite.

Da definição, matriz simétrica é aquela que onde temos $A_{ij} = A_{ji}$

Claramente vemos que os elementos da diagonal principal, onde i = j automaticamente satisfazem essa condição, independente desses valores.

X é o $A_{12}$ , que por simetria devemos ter $X = A_{21} =2$

Y é o $A_{31}$ , o correspondente será $A{13}=5$ . Logo, Y = 5.

Z é $A_{32}$ , que deverá ser igual a $A_{23}$ . Vemos que Z = -4

Answer 2

Uma matriz é simétrica se:
$A=A^T$
ou seja, para uma matriz ser simétrica ela deve ser igual a sua transposta.

1) Escrever matriz transposta:
$\displaystyle i)~~~~A= \left[\begin{array}{ccc}1&x&5\\2&7&-4\\y&z&-3\end{array}\right] \\\\ii)~~~A^T=\left[\begin{array}{ccc}1&x&5\\2&7&-4\\y&z&-3\end{array}\right]^T= \left[\begin{array}{ccc}1&2&y\\x&7&z\\5&-4&-3\end{array}\right]$

2) Igualar as duas e descobrir os valores de x e y:

$\left[\begin{array}{ccc}1&x&5\\2&7&-4\\y&z&-3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&2&y\\x&7&z\\5&-4&-3\end{array}\right]\implies \begin{cases}x=2\\y=5\\z=-4\end{cases}$

3) Substituir os valores nos lados da igualdade e verificar que de fato as matrizes são iguais:
$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\2&7&-4\\5&-4&-3\end{array}\right]\\\\\\A^T=\left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\2&7&-4\\5&-4&-3\end{array}\right]$

Observação: a operação de transpor matrizes consiste em transformamos as linhas em colunas de tal forma que:
$\left(A^T\right)^T=A$

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Bons estudos!