Question

Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B.
São dados: A(4,5) ; A(4,5) ; B(1,1) ; B(1,1) e C(x,4).

Answer 1

Distância entre dois pontos quaisquer em Geometria Analítica:

$d = \sqrt{(xa-xb)^2 + (ya-yb)^2}$

Vamos à distancia entre A e B:

$d = \sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2} d = \sqrt{3^2 + 4^2} d = \sqrt{9+16} d = \sqrt{25} d = 5$

dAB = 5 unidades.

Vamos à distância entre B e C:

$d = \sqrt{(1-x)^2 + (1-4)^2} d = \sqrt{(1-x)^2 + (-3)^2} d = \sqrt{(1-x)^2 + 9}$

Vamos deixar a dBC assim.

Vamos à distância entre A e C:

$d = \sqrt{(4-x)^2 + (5-4)^2}$

$d = \sqrt{(4-x)^2 + 1^2}$

$d = \sqrt{(4-x)^2 + 1}$

Vamos deixar dAC assim.

- Para que o triângulo seja retângulo em B, devemos ter uma hipotenusa que mede dAC e catetos que medem dAB e dBC.

- Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:

$(\sqrt{(4-x)^2 + 1})^2 = 5^2 + (\sqrt{(1-x)^2 + 9})^2$

(dAC)² = (dAB)² + (dBC)²

(4-x)² + 1 = 25 + (1-x)² + 9

16 - 8x + x² + 1 = 25 + 1 - 2x + x² + 9

x² - 8x + 17= x² - 2x + 35

- 8x + 17 = - 2x + 35

- 8x + 2x = 35 - 17

- 6x = 18

x = 18/-6

x = -3