Question

Determinar valor de X         

log₂ (x) + 4logX (8) = 8

Answer 1

$log _{2}x+4log _{x}8=8$


Condição de existência: $\begin{cases}x>0~~para~o~logaritmando\\x>0~~e~~x \neq 1~~para~a~base \end{cases}$

Imposta a condição de existência, vemos que a equação está sujeita à duas bases, (2) e (x), então vamos aplicar a propriedade de mudança de base:

$\boxed{log _{b}c= \frac{logb}{logc}}$

$log _{2}x+4log _{x}8=8\\\\ log _{2}x+ 4(\frac{log _{2}8 }{log _{2}x })=8$

Usando a definição de que $log _{2}8=3$, temos que:

$log _{2}x+4( \frac{3}{log _{2}x })=8$

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo $log _{2}x=y$, teremos:

$y+4( \frac{3}{y})=8\\\\ y+ \frac{12}{y}=8\\\\ (y*y)+12=8*y\\ y ^{2}+12=8y\\ y ^{2}-8y+12=0\\\\ \Delta=b ^{2}-4ac~\to~\Delta=(-8) ^{2}-4*1*12~\to~\Delta=16\\\\ y= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}~\to~y= \frac{-(-8)\pm \sqrt{16} }{2*1}~\to~y= \frac{8\pm4}{2}\begin{cases}y'= \frac{8-4}{2}~\to~y'=2\\\\ y''= \frac{8+4}{2}~\to~y''=6 \end{cases}$

Retomando a variável original, onde $log _{2}x=y$, teremos

para y=2, vem:

$log _{2}x=2\\ x=2 ^{2}\\ x=4$


para y=6, vem:

$log _{2}x=6\\ x=2 ^{6}\\ x=64$

Valores que atendem sem restrição alguma à condição de existência, portanto:


$\boxed{S=\{4,~64\}}$



Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos xD