Question

Determinar uma reta paralela aos planos π 1 : x + y + z + 1 = 0 e π 2 : x - y - z + 7 = 0 que está a 6 unidades de distância destes dois planos.

Answer 1

1) Primero hallemos los vectores perpendiculares a cada plano
Para el plano $\Pi_1\to\vec{v}_1=(1,1,1)$
Para el plano $\Pi_2\to\vec{v}_2=(1,-1,-1)$

2) Luego hallemos un tercer vector perpendicular a los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$

$\vec{v}_3=\vec{v}_1\times \vec{v}_2\\ \\ \vec{v}_3=\left|\begin{matrix} i&j&k\\ 1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{matrix}\right|\\ \\ \\ \vec{v}_3=0i+2j-2k=(0,2,-2)\parallel(0,1,-1)$

El vector (0,1,-1) será el vector direccional de la recta, cuyo punto de paso será $(x_0,y_0,z_0)$ es decir su ecuación vectorial es la siguiente

             $\boxed{\mathcal L=\left\{(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(0,1,-1)r~|~r\in \mathbb R\right\}}$

3) Elijamos un punto sobre la recta $p=(x_0,y_0+r,z_0-r)$
Luego hallemos la distancia a los planos $\Pi_1$ y $\Pi_2$ respectivamente


$\dfrac{|(1,1,1)\cdot(x_0,y_0+r,z_0-r)+1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=6~~\&~~\\ \\ \\ \dfrac{|(1,-1,-1)\cdot(x_0,y_0+r,z_0-r)+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=6\\ \\ \\ \\ \dfrac{|x_0+y_0+r+z_0-r+1|}{\sqrt{3}}=6~~\&~~\\ \\ \\ \dfrac{|x_0-y_0-r-z_0+r+7|}{\sqrt{3}}=6$


$\dfrac{|x_0+y_0+z_0+1|}{\sqrt{3}}=6~~\&~~\\ \\ \\ \dfrac{|x_0-y_0-z_0+7|}{\sqrt{3}}=6\\ \\ \\ \\ |x_0+y_0+z_0+1|=6\sqrt{3}\\ \\ |x_0-y_0-z_0+7|=6\sqrt{3}$


$\begin{cases} x_0+y_0+z_0=6\sqrt{3}-1~\vee~ x_0+y_0+z_0=-6\sqrt{3}-1\\ x_0-y_0-z_0=6\sqrt{3}-7~\vee~ x_0-y_0-z_0=-6\sqrt{3}-7 \end{cases}\\ \\ \\ \texttt{De esto salen 4 sistemas de ecuaciones}:$


$\begin{cases} x_0+y_0+z_0=6\sqrt{3}-1\\ x_0-y_0-z_0=6\sqrt{3}-7 \end{cases}~,~\begin{cases} x_0+y_0+z_0=6\sqrt{3}-1\\ x_0-y_0-z_0=-6\sqrt{3}-7 \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} x_0+y_0+z_0=-6\sqrt{3}-1\\ x_0-y_0-z_0=6\sqrt{3}-7 \end{cases}~,~\begin{cases} x_0+y_0+z_0=-6\sqrt{3}-1\\ x_0-y_0-z_0=-6\sqrt{3}-7 \end{cases}$


resolviendo tenemos en realidad las 4 rectas buscadas:

         $p_1=\left(6\sqrt{3}-4,y_1,3-y_1\right)=\left(6\sqrt{3}-4,0,3\right)+(0,1,-1)y_1\\ \\ p_2=\left(-4,y_2,6\sqrt{3}+3-y_2\right)=\left(-4,0,6\sqrt{3}+3\right)+(0,1,-1)y_2\\ \\ p_3=\left(-4,y_3,-6\sqrt{3}+3-y_3\right)=\left(-4,0,-6\sqrt{3}+3\right)+(0,1,-1)y_3\\ \\ p_4=\left(-6\sqrt{3}-4,y_4,3-y_4\right)=\left(-6\sqrt{3}-4,0,3\right)+(0,1,-1)y_4$