Question

Determinar uma PA crescente de 3 termos sabendo-se que a soma de seus termos vale 27 e a soma dos quadrados de seus termos é 315

Answer 1

a1 + a1 + r + a1 + 2r = 27
3a1 + 3r = 27
a1 + r = 9 
a1 = 9 - r ******

(a1)² + (a2)² + ( a3)² = 315
(a1)² + ( a1 + r)² + ( a1 + 2r)² = 315
( 9-r)² +( 9 - r + r)² + ( 9 - r + 2r)² = 315
( 9 - r)² + ( 9)² + ( 9 + r)²  = 315
(81 - 18r + r²) + (81 )+ (81 + 18r + r²) = 315
243 + 2r² = 315
2r² = 315 - 243
2r² = 72
r² = 36
r = +-6 ********

a1 = 9 - r
a1 = 9 - 6 = 3 ****
a2 = a1 + r = 3 + 6 = 9 *******
a3 = a1 + 2r = 3 + 12 = 15 *****
PA { 3, 9, 15 }

Answer 2

Os termos (a - 1, a, a + 1)

$a + r +a + r + a_3 = 27 \\ \\ 3a=27 \\ \\ a = \dfrac{27}{3} \\ \\ a = 9$

O valor do segundo termo  = 9 

========

Encontrar a razão
$(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2=315 \\ \\ (a_1)^2+(a_1+r)^2+(a_1+2r)^2=315 \\ \\ (a_1)^2+(a_1)^2+2 * (a_1)* r+r^2+(a_1)^2+2 * (a_1)(2r)+(2r)^2=315 \\ \\ 3(a_1)^2+6(a_1)r+5r^2=315$

$3(9-r)^2+6(9-r)r+5r^2=315 \\ \\ 243-54r+3r^2+54r-6r^2+5r^2=315 \\ \\ 2r^2=315-243 \\ \\ 2r^2=72 \\ \\ r^2=36 \\ \\ r = \sqrt{36} \\ \\ r = 6$

Razão  = 6

=====

Calcular o primeiro termo:

an = a1 + ( n - 1 ) . r
9 = a1 + ( 2 - 1 ) . 6
9 = a1 + 1 . 6
9 = a1 + 6
9 - 6 = a1
a1 = 3

=====
Calcular o terceiro termo:
an =   a1 + ( n -1 ) . r
a3 =  3 + ( 3 -1 ) . 6
a3 =  3 + 2 . 6
a3 =  3 + 12
a3 =  15

========

Termos da PA (3, 9, 15)
Raão  = 6

=====
3 + 9 + 15 = 27

3² + 9² + 15² = 9 + 81 + 225  => 315