Question

Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A = (2, −3,4) e B =
(1, −1,2) e verificar se os pontos C = ( 5 , −4, 5) e D = (−1,3,4) pertencem a r.

Answer 1

Se a reta passa pelos pontos $A$ e $B,$ então o vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ diretor da reta é paralelo ao vetor $\overrightarrow{AB}:$

$\overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel\overrightarrow{AB}\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel B-A\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (1;\,-1;\,2)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (1-2;\,-1+3;\,2-4)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (-1;\,2;\,-2)$


Então, podemos tomar o vetor $(-1;\,2;\,-2)$ como vetor diretor da reta:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1;\,2;\,-2)$


Dado um ponto da reta e um vetor diretor, podemos definir a sua equação.

Por exemplo, tomemos o ponto $A$ e o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{v}}.$ A equação vetorial da reta é

$(x;\,y;\,z)=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}(x;\,y;\,z)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2) \end{array}}$


Para verificar se um ponto pertence à reta, basta substituir suas coordenadas no lado esquerdo e verificar se existe um $t$ real que torne a igualdade verdadeira.


$\bullet\;\;$ Verificando se o ponto $C(5;\,-4;\,5)$ pertence à reta:

$(5;\,-4;\,5)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(5;\,-4;\,5)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(5-2;\,-4+3;\,5-4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(3;\,-1;\,1)\\ \\ (-t;\,2t;\,-2t)=(3;\,-1;\,1)$


Analisando a última linha acima, vemos que não existe um número real $t$ que satisfaça a igualdade entre os vetores. Logo, $C(5;\,-4;\,5)$ não pertence à reta.



$\bullet\;\;$ Verificando se o ponto $D(-1;\,3;\,4)$ pertence à reta:

Substituindo as coordenadas na equação da reta,

$(-1;\,3;\,4)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-1;\,3;\,4)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-1-2;\,3+3;\,4-4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-3;\,6;\,0)\\ \\ (-t;\,2t;\,-2t)=(-3;\,6;\,0)$


Novamente, não existe $t$ real que satisfaça a igualdade acima. Logo, o ponto $D(-1;\,3;\,4)$ também não pertence à reta.

Answer 2

A equação vetorial da reta é (x, y, z) = (2, -3, 4) + t·(-1, 2, -2).

Os pontos C e D não pertencem à reta.

Equação vetorial da reta

A equação vetorial da reta no espaço pode se encontrada por um ponto A(x0, y0, z0) e por um vetor diretor v = (a, b, c) onde:

(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c

A equação vetorial é dada por:

(x, y, z) = A + t·v

O vetor diretor é paralelo ao vetor formado por dois pontos pertencentes à reta, então:

v = AB

v = B - A

v = (1 - 2, -1 - (-3), 2 - 4)

v = (-1, 2, -2)

Utilizando o ponto A, a equação vetorial da reta é:

(x, y, z) = (2, -3, 4) + t·(-1, 2, -2)

Verificando o ponto C:

(5, -4, 5) = (2, -3, 4) + t·(-1, 2, -2)

(3, -1, 1) = (-t, 2t, -2t)

t = -3, t = -1, t = -1

Como temos valores diferentes de t, C não pertence à reta.

Verificando o ponto D:

(-1, 3, 4) = (2, -3, 4) + t·(-1, 2, -2)

(-3, 6, 0) = (-t, 2t, -2t)

t = 3, t = 3, t = 0

Como temos valores diferentes de t, D não pertence à reta.

Leia mais sobre equações da reta em:

https://brainly.com.br/tarefa/23149165

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