Question

Determinar uma equação da elipse de centro (0,0), eixo maior sobre o eixo dos y, sabendo que passa pelo pontos $P(1, \sqrt{14}...e... Q(2,-2 \sqrt{2}).$

Answer 1

Olá lucas. vamos substituis os pontos:

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} =1$

Primeiro, repare que o eixo maior ta em direção ao eixo "y" Por isso que "a" está embaixo de y².

Para Ponto = (1 , √14) teremos:


$\\ \frac{1^2}{b^2} + \frac{( \sqrt{14})^2 }{a^2} =1 \\ \\ \frac{1}{b^2} + \frac{14}{a^2} = 1$

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Para ponto = (2, -2√2) teremos:

$\\ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} =1 \\ \\ \frac{2^2}{b^2} + \frac{(-2 \sqrt{2} )^2}{a^2} =1 \\ \\ \frac{4}{b^2}+\frac{8}{a^2} =1$

Resolvendo o sistema:



$\left \{ {{ \frac{1}{b^2}+ \frac{14}{a^2} =1} \atop { \frac{4}{b^2}+ \frac{8}{a^2} =1}} \right.$

multiplique a 1 eq por -4:


$\left \{ {{ \frac{-4}{b^2}+ \frac{-56}{a^2} =-4} \atop { \frac{4}{b^2}+ \frac{8}{a^2} =1}} \right. \\ \\ \frac{-56}{a^2} + \frac{8}{a^2} =-4+1 \\ \\ \frac{-56+8}{a^2} =-3 \\ \\ -3a^2=-48 \\ \\ 3a^2=48 \\ \\ a^2= \frac{48}{3} \\ \\ a^2=16 \\ \\ a = \sqrt{16} \\ \\ a = 4$

Substituindo a = 4 em uma das equações teremos:

$\\ \frac{1}{b^2} + \frac{14}{a^2} =1 \\ \\ \frac{1}{b^2} + \frac{14}{4^2} =1 \\ \\ \frac{1}{b^2}+ \frac{14}{16}=1 \\ \\ \frac{1}{b^2}+\frac{7}{8}=1 \\ \\ \frac{1}{b^2}= 1 - \frac{7}{8} \\ \\ \frac{1}{b^2}= \frac{1}{8} \\ \\ b^2 = 8 \\ \\ a= \sqrt{8} \\ \\ b=2 \sqrt{2}$

∴

A equação procurada é:

$\frac{x^2}{(2 \sqrt{2})^2 } + \frac{y^2}{4^2} =1$