Question

Determinar uma base ortogonal de cada um dos seguintes subespa¸cos do R

4 utilizando o

processo de Gram-Schmidt:

a) W = [(1, 1, 0, 0),(0, 1, 2, 0),(0, 0, 3, 4)].

b) W = [(2, 0, 0, 0),(1, 3, 3, 0),(3, −3, −3, 0)].​

Answer 1

As bases ortonormais são

a) [$(1,1,0,0), \dfrac{1}{2}(-1,1,4,0), \dfrac{1}{3}(2,-2,1,12)$ ]

b) [ $(2,0,0,0), \dfrac{1}{2}(0,6,6,0), (0,0,0,0)$]

o processo de gram-Schmidt é um processo de ortogonalização de vetores e é dado pela seguinte expressão:

$u_1=v_1\\\\\\u_2=v_2- Proj_{u _1}(v_2)\\\\\\u_3=v_2- Proj_{u _1}(v_3)- Proj_{u _2}(v_3)\\\\.\\.\\.$

Como pode ser visto na figura, ao subtrair de v a projeção de v em u, obtemos um vetor perpendicular a u.

sejam as seguintes bases:

a) W = [(1, 1, 0, 0),(0, 1, 2, 0),(0, 0, 3, 4)].

primeiro passo do método é escolher um desses fatores para ser o primeiro eixo.

Vamos escolher (1,1,0,0) como tal.

Teremos então que

$Proj_{u_1}v_2=\dfrac{(1,1,0,0)\dot(0,1,2,0)}{(1,1,0,0)\dot(1,1,0,0)}(1,1,0,0)=\dfrac{1}{2}(1,1,0,0)$

Assim obtemos o vetor $u_2=(0,1,2,0)-dfrac{1}{2}(1,1,0,0)=\dfrac{1}{2}(-1,1,4,0)$

$Proj_{u_1}v_3=\dfrac{(1,1,0,0)\dot(0,0,3,4)}{(1,1,0,0)\dot(1,1,0,0)}(1,1,0,0)=0$

isso significa e $v_3$ e o $u_1$ são ortogonais.

$Proj_{u_2}v_3=\dfrac{\dfrac{1}{2}(-1,1,4,0)\dot(0,0,3,4)}{\dfrac{1}{2}(-1,1,4,0)\dot\dfrac{1}{2}(-1,1,4,0)}\dfrac{1}{2}(-1,1,4,0)=\dfrac{2}{3}(-1,1,4,0)$

Assim obtemos o vetor $u_3=(0,0,3,4)-\dfrac{2}{3}(-1,1,4,0)=\dfrac{1}{3}(2,-2,1,12)$

b) W = [(2, 0, 0, 0),(1, 3, 3, 0),(3, −3, −3, 0)].

primeiro passo do método é escolher um desses fatores para ser o primeiro eixo.

Vamos escolher (2,0,0,0) como tal.

Teremos então que

$Proj_{u_1}v_2=\dfrac{(2,0,0,0)\dot(1,3,3,0)}{(2,0,0,0)\dot(2,0,0,0)}(1,1,0,0)=\dfrac{1}{2}(2,0,0,0)$

Assim obtemos o vetor $u_2=(1,3,3,0)-dfrac{1}{2}(2,0,0,0)=\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)$

$Proj_{u_1}v_3=\dfrac{(2,0,0,0)\dot(3,-3,-3,0)}{(2,0,0,0)\dot(2,0,0,0)}(2,0,0,0)=\dfrac{3}{2}(2,0,0,0)$

$Proj_{u_2}v_3=\dfrac{\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)\dot(3,-3,-3,0)}{\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)\dot\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)}\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)=-\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)$

Assim obtemos o vetor $u_3=(3,-3,-3,0)-\dfrac{3}{2}(2,0,0,0)+\dfrac{1}{2}(0,6,6,0)=(0,0,0,0)$