Question

determinar um vetor unitario ortogonal ao vetor v=[2,-1,1]

Answer 1

Existem infinitos vetores que satisfazem o problema.

Sabemos que o produto escalar entre vetores ortogonais é zero.


Seja $\overrightarrow{\mathbf{w}}=(a;\,b;\,c)$ um vetor ortogonal a

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2;\,-1;\,1).$


Então, devemos ter

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=0\\ \\ (a;\,b;\,c)\cdot (2;\,-1;\,1)=0\\ \\ 2a-b+c=0$


Escolhendo arbitrariamente

$a=1\;\;\text{ e }\;\;b=0,$


temos que

$2\cdot 1-0+c=0\\ \\ c=-2$


Então, um vetor ortogonal a $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=(1;\,0;\,-2).$


Como queremos um vetor unitário, basta encontrarmos o módulo de $\overrightarrow{\mathbf{w}}:$

$\|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=\|(1;\,0;\,-2)\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=\sqrt{1+0+4}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=\sqrt{5}$


O vetor unitário que tem mesma direção e sentido que $\|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|$ é

$\overrightarrow{\mathbf{w}}^{\circ}=\dfrac{\overrightarrow{\mathbf{w}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|}\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (1;\,0;\,-2)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{w}}^{\circ}=(\frac{1}{\sqrt{5}};\,0;\,-\frac{2}{\sqrt{5}}) \end{array}}$