Question

determinar um vetor de modulo 5 paralelo ao vetor v = (1,-1,2)

Answer 1

Encontrar um vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}},$ paralelo a $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1;\,-1;\,2),$ de forma que

$\|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=5$


Se $\overrightarrow{\mathbf{w}} \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}},$ então podemos representar o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ como

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=k\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=k\cdot (1;\,-1;\,2)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=(k;\,-k;\,2k)$

para algum número real $k \neq 0.$


Como o módulo de $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ deve ser igual a $5,$ então devemos ter

$\|\overrightarrow{\mathbf{w}}\|=5\\ \\ \|(k;\,-k;\,2k)\|=5\\ \\ \sqrt{k^{2}+(-k)^{2}+(2k)^{2}}=5\\ \\ \sqrt{k^{2}+k^{2}+4k^{2}}=5\\ \\ \sqrt{6k^{2}}=5\\ \\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{k^{2}}=5\\ \\ \sqrt{6}\cdot |k|=5\\ \\ |k|=\frac{5}{\sqrt{6}}\\ \\ k=-\frac{5}{\sqrt{6}}\;\;\text{ ou }\;\;k=\frac{5}{\sqrt{6}}$


Então, temos duas possibilidades para o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}:$
 
$\overrightarrow{\mathbf{w}}=(k;\,-k;\,2k)\\ \\ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\mathbf{w}}=(-\frac{5}{\sqrt{6}};\,-(-\frac{5}{\sqrt{6}});\,2\cdot (-\frac{5}{\sqrt{6}}))&\;\text{ ou }&\;\overrightarrow{\mathbf{w}}=(\frac{5}{\sqrt{6}};\,-\frac{5}{\sqrt{6}};\,2\cdot \frac{5}{\sqrt{6}}) \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{\mathbf{w}}=(-\frac{5}{\sqrt{6}};\,\frac{5}{\sqrt{6}};\,-\frac{10}{\sqrt{6}})&\;\text{ ou }&\;\overrightarrow{\mathbf{w}}=(\frac{5}{\sqrt{6}};\,-\frac{5}{\sqrt{6}};\,\frac{10}{\sqrt{6}}) \end{array}}$