Question

determinar um vetor de módulo 2 ortogonal u=(3,2,2), v=(0,1,1)

Answer 1

Oi Sergio 

||w|| = √(a² + b² + c²) = 2

a² + b² + c² = 4 

w.u = 0

(a,b,c)*(3,2,2) = 0

3a + 2b + 2c = 0

w.v = 0

(a,b,c)*(0,1,1) = 0

b + c = 0 
3a + 2b + 2c = 0

c = -b

3a + 2b - 2b = 0
3a = 0
a = 0

√(a² + b² + c²) = 2

√(0² + (-c)² + c²) = 2

√(2c²) = 2

2c² = 4 
c² = 2

c1 = √2, c2 = -√2

b1 = -c1
b1 = -√2

b2 = -c2 = √2
 
w1 = (a,b1,c1) = (0,-√2,√2)
w2 = (a,b2,c2) = (0,√2,-√2)

.

Answer 2

O produto vetorial entre u e v gera um terceiro vetor, ortogonal a ambos:

z = u x v
z =  |  i    j    k |
       | 3   2   2 |
       | 0   1    1  |
z = 2i + 3k + 0j - 0k - 2i - 3j
z = 0i - 3j + 3k
|z| = √[0² + (- 3)² + 3²] = √(9 + 9) = √18

Queremos que o vetor ortogonal tenha módulo 2. Basta encontrarmos um fator a que gere esse resultado:
s = az = a.0i - a.3j + a.3k
|s| = √[(0)² + (- 3a)² + (3a)²] = 2
√(9a² + 9a²) = 2
18a² = 4
a² = 2/9
a = (√2)/3 ou a = - (√2)/3

Escolhendo o valor positivo para a, temos:
s = [(√2)/3].0i - [(√2)/3].3j + [(√2)/3].3k
s = 0i - √2j + √2k
s = (0, - √2, √2).