determinar tres numeros impares e consecutivos sabendo que o seu produto e igual a sete vezes a sua soma.
Soluções para a tarefa
Como a distância entre dois números ímpares consecutivos sempre vale 2 unidades, seja (x) o primeiro ímpar, (x+2) o segundo ímpar e (x+4) o terceiro ímpar. A questão diz que:
"Seu produto é igual a sete vezes a sua soma."
Algebricamente, teremos:
x*(x+2)*(x+4) = 7*(x + x+2 +x+4)
x*(x² +4x +2x +8) = 7*(3x+6)
x*(x² + 6x + 8) = 21x + 42
x³ + 6x² + 8x = 21x + 42
x³ + 6x² + 8x - 21x - 42 = 0
x³ + 6x² - 13x - 42 = 0
Chegamos em um IMPASSE, pois temos uma equação completa do terceiro grau e não sabemos como resolvê-la de uma vez!
O único modo de reduzir o grau dessa equação do terceiro grau é encontrando, POR TENTATIVA, uma das raízes e utilizar o "Dispositivo Prático de Briot-Ruffini" para obtermos os coeficientes da equação quadrática resultante.
Por tentativa, notamos que 3 é uma das raízes, pois:
x³ + 6x² - 13x - 42 = 0
3³ + 6*(3)² - 13*(3) - 42 = 0
27 + 54 - 39 - 42 = 0
81 - 81 = 0
0 = 0 (Verdade).
Portanto, 3 é raiz e é uma das soluções.
Aplicando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
Coloca-se a raiz encontrada no lado direito do algoritmo. Em seguida repete-se os coeficientes da equação do terceiro grau. Abaixamos, primeiramente, o primeiro coeficiente da equação do terceiro grau. Pegamos esse número e multiplicamos pela raiz (3) e somamos com o coeficiente próximo e abaixamos o número encontrado. (Observe a imagem).
Assim: Os coeficientes da equação quadrática resultante são 1,9 e 14.
Assim, fica:
x² + 9x + 14 = 0
Δ = 9² -4*1*14 = 81 - 56 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = (-9+5)/2*1 = -4/2 = -2
x₂ = (-9-5)/2*1 = -14/2 = -7
Então x = -2 ou x = -7
Como (x) é um número ímpar, perceba que x = -2 é absurdo, não convém.
Logo, a outra solução é -7, pois -7 é um número inteiro não divisível por 2 e, portanto, -7 é ímpar.
Portanto, chegamos à solução do problema:
x = 3 ou = -7
Como é pedido três número inteiros e consecutivos, temos dois conjuntos possíveis de valores:
1) 3,5,7
2) -7,-5,-3
1) e 2) são as soluções para esse problema.
