Question

determinar se sao ortogonais ou nao as retas r e s nos seguintes casos:

Answer 1

Precisa informar a figura. Retas ortogonais são retas que não se interceptam com coeficientes angulares diferentes assim como os coeficientes lineares, mas formam um ângulo reto (90°).

Answer 2

Duas retas são ortogonais se, e somente se, os seus vetores diretores forem ortogonais.

Note que retas ortogonais podem ou não se interceptar em algum ponto.


a)

$\begin{array}{ccc} r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=0+2\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=1+0\lambda \end{array} \right.&\;\text{ e }\;&s:\;\left\{ \begin{array}{l} x=0+\lambda\\ y=1+2\lambda\\ z=30+10\lambda \end{array} \right.\\ \\ \Downarrow&&\Downarrow\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\;-1,\;0)&&\overrightarrow{\mathbf{w}}=(1,\;2,\;10) \end{array}$


$\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ são os vetores diretores das retas $r$ e $s,$ respectivamente.


$\bullet\;\;$ Verificando se os vetores são ortogonais via produto escalar:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}\\ \\ =(2,\;-1,\;0)\cdot (1,\;2,\;10)\\ \\ =2\cdot 1+(-1)\cdot 2+0\cdot 10\\ \\ =2+(-2)+0\\ \\ =0\;\;\;\;\;\;(\checkmark)$


Como o produto escalar é zero, então as retas são ortogonais.


b)

$\begin{array}{ccc} r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=2-\lambda\\ y=0+\lambda\\ z=1+3\lambda \end{array} \right.&\;\text{ e }\;&s:\;\left\{ \begin{array}{l} x=2\lambda\\ y=0+\lambda\\ z=10+\frac{\lambda}{3} \end{array} \right.\\ \\ \Downarrow&&\Downarrow\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,\;1,\;3)&&\overrightarrow{\mathbf{w}}=(2,\;1,\;\frac{1}{3}) \end{array}$


$\bullet\;\;$ Calculando o produto escalar:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}\\ \\ =(-1,\;1,\;3)\cdot (2,\;1,\;\frac{1}{3})\\ \\=-1\cdot 2+1\cdot 1+3\cdot \frac{1}{3}\\ \\ =-2+1+1\\ \\ =0\;\;\;\;\;\;(\checkmark)$


Como o produto escalar deu zero, as retas são ortogonais.