Question

Determinar os vértices de A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas.

$6)4x^2+9y^2=25$

$7)4x^2+y^2=1$

$8)4x^2+25y^2=1$

$9)x^2+2y^2-5=0$

$10)9x^2+25y^2=25$

Answer 1

6)

Divide tudo por 25:


$\\ \frac{4x^2}{25} + \frac{9x^2}{25} =1 \\ \\ \frac{x^2}{ \frac{25}{4} } + \frac{y^2}{ \frac{25}{9} } = 1 \\ \\ \frac{x^2}{( \frac{5}{2})^2 } + \frac{y^2}{ (\frac{5}{3} )^2}$

Temos uma elipse horizontal:

Centro (0,0)

a = 5/2

b = 5/3

A1  = (-a, 0) → (-5/2, 0)

A2 = (a, 0) → (5/2, 0)

--------------

c² +b²=a²

c² + 25/9 = 25/4

c² = 25/4-25/9


$\\ c^2 = \frac{9*25-4*25}{4*9} \\ \\ c^2 = \frac{225-100}{45} \\ \\ c^2 = \frac{125}{45} \\ \\ c^2 = \frac{25}{9} \\ \\ c = 5/3$

e = c/a

e = (5/3)/(5/2)

e = (5/3)*(2/5)

e = 2/3

e ≈ 0,6666..

--------------------

7)


$\\ 4x^2+y^2= 1 \\ \\ \frac{x^2}{ \frac{1}{4} } + \frac{y^2}{1} =1 \\ \\ \frac{x^2}{ (\frac{1}{2})^2 } + \frac{y^2}{1^2} =1$

Temos uma elipse vertical.

Centro (0,0)

a = 1

b = 1/2

---------

A1 = (0,-a) → (0,-1)

A2 = (0, a) → (0, 1)

-----------------

c²+b²=a²

c²= 1-1/4

c² = 3/4

c = √3/2

e = c/a

e = (√3/2)/1

e ≈ 0,8660

-------------------------

8)

$\\ 4x^2+25y^2=1 \\ \\ \frac{x^2}{ \frac{1}{4} } +\frac{y^2}{ \frac{1}{25} } = 1 \\ \\ \frac{x^2}{ (\frac{1}{2})^2 } +\frac{y^2}{( \frac{1}{5} )^2} = 1$

Temos uma elipse horizontal:

Centro (0,0)

a = 1/2

b = 1/5

---------------

A1 = (-a, 0) → (-1/2, 0)

A2 = (a,0) → (1/2, 0)

-------------------

c²+b²=a²

c² = 1/4 - 1/25

$\\ c^2 = \frac{25*1-1*4}{4*25} \\ \\ c^2= \frac{21}{100} \\ \\ c = \frac{ \sqrt{21} }{10}$

e = c/a

e = (√21/10)/(1/2)

e = (√21/10)*(2/1)

e = √21/5

e ≈ 0, 916


--------------

9)



$\\ x^2+2y^2=5 \\ \\ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{ \frac{5}{2} }=1 \\ \\ \frac{x^2}{( \sqrt{5} )^2} + \frac{y^2}{ ( \sqrt{ \frac{5}{2} } )^2}=1$

Temos uma elipse horizontal:

Centro (0,0)

a = √5

b = √(5/2)

-------------------

A1 = (-a, 0) → (-√5,0)

A2 = (a, 0) → (√5,0)

----------

c²+b²=a²

c² = 5 -5/2

c² = 5/2

c = √(5/2)

---------------

e = c/a

e = √(5/2)/√5

e ≈ 0,707

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10)

9x²+25y² =25


$\\ \frac{x^2}{ \frac{25}{9} } + \frac{y^2}{1} =1 \\ \\ \frac{x^2}{ ( \frac{5}{3} )^2 } + \frac{y^2}{1^2} =1$

Temos uma elipse horizontal:

Centro (0,0)

a = 5/3

b = 1

-----------------

A1 = (-a,0) → (-5/3,0)

A2 = (a,0) → ( 5/3,0)

------------------------

c²+b²= a²

c² + 1 = 25/9

c² = 25/9 -1

c² = 16/9

c = 4/3

e = c/a

e = (4/3)/(5/3)

e = (4/3)*(3/5)

e = 4/5

e ≈ 0,8