Question

Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.

Answer 1

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(x+2)³= x³+3·x²·2+3·x·2²+2³ ⇒x³+6x²+12x+8 logo a=12  e  b= 8

Observe o 6x²  que pode ser escrito como 3x²·2    e compare com o  3a²b que é o 2° termo do desenvolvimento de (a+b)³ ele sempre tem a forma [3 vezes o quadrado do 1° termo vezes o 2° termo]   assim se descobre que o segundo termo  é o 2. Agora é só desenvolver o  (x+2)³ para achar os quatro termos que tem sempre a estrutura  (formato) do desenvolvimento mostrado na 1ª linha deste texto.

A descrição em português da 1ª linha  é  :  O [cubo da soma de dois termos] é igual ao [cubo do 1° termo] mais [três vezes o quadrado do 1° termo vezes o 2° termo] mais [três vezes o 1° termo vezes o quadrado do 2° termo] mais o [cubo do 2° termo]

Espero que agora você consiga entender.

Answer 2

Triângulo de pascal

11

121

1331

Método binomial

(c +d)³ = c³ +3c²d +3cd² +d³

Comparação entre o polinômio genérico com o citado pelo enunciado:

c³ +3c²d +3cd² +d³ =  x³ + 6x² + ax + b

c³ = x³

c = x

3c²d = 6x²

Se c = x

3x²d = 6x²

3d = 6

d = 2

3cd² = ax

3 * x * 2² = ax

3 * 4 = a

12 = a

d³ = b

2³ = b

8 = b

a = 12 ; b = 8